FUNCȚII ȘI LIMITE DIN IX
§ 207. Funcții periodice
Se spune că o funcție f = f (x) este periodică dacă există un număr T = j = 0 astfel încât pentru toate valorile lui x în domeniul definirii acestei funcții.
Numărul T în acest caz se numește perioada funcției.
Periodic, de exemplu, sunt funcțiile trigonometrice y = sin x și y = cos x. Perioada lor este de 2π. Un exemplu de funcție periodică non-trigonometrică este funcția y = x>, care atribuie fiecărui număr x partea sa fracționată.
* Pentru partea fracționată a numărului, vezi Capitolul VIII, § 187.
De exemplu, = 0,56; = 0,01, etc. Dacă se adaugă 1 la un număr arbitrar x, atunci numai partea parțială a acestui număr se va schimba; Partea fracționată va rămâne aceeași. În consecință, x + i> = x> și, prin urmare, funcția y = x> este periodică cu perioada 1.
Rezultă din egalitatea f (x + T) = f (x) că toate valorile funcției y = f (x) se repetă cu perioada T. Aceasta se reflectă în reprezentarea grafică a funcțiilor periodice. De exemplu, în intervalul [0, 2π] sinusoidul are aceeași formă ca în [2π. 4π], [4π. 6π], etc. (Figura 282).
Figura 283 prezintă graficul funcției y = x>. Periodicitatea funcției y = x> determină că graficul acesteia în intervalul [0, 1] are aceeași formă ca și în intervalul [1, 2] [2, 3], și așa mai departe. D.
Dacă T este perioada funcției f (x), atunci 2T, 3T, 4T, etc., sunt și perioadele acestei funcții.
și așa mai departe.În plus, orice număr poate fi considerat o perioadă a funcției f (x): - T, - 2T, - 3T, etc. Într-adevăr,
și așa mai departe.Deci, dacă numărul T este perioada funcției f (x), atunci pentru orice număr întreg n, numărul n T este de asemenea perioada acestei funcții. Prin urmare, fiecare funcție periodică are un set infinit de perioade. De exemplu, perioada funcției y = sin x poate fi considerată oricare dintre numere: 2π. 4p. 6π. - 2π. - 4π. iar perioada funcției y = x> este oricare dintre numerele 1, 2, 3, -1, -2, -3 și așa mai departe.
Vorbind despre perioada funcției y = f (x), de obicei, avem în vedere cea mai mică perioadă pozitivă. Astfel, spunem că perioada funcției y = sin x este numărul 2π. perioada funcției y = tan x este numărul π. perioada funcției x este numărul 1 și așa mai departe.
Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că perioada cea mai puțin pozitivă pentru o funcție periodică poate să nu existe.
De exemplu, pentru o funcție f (x) = 3 (Figura 284), orice număr real este o perioadă. Dar printre numerele reale pozitive nu există niciunul. Prin urmare, funcția f (x) = 3, având un set infinit de perioade, nu are cea mai mică perioadă pozitivă.
Pentru fiecare dintre aceste funcții (nr. 1613-1621) găsiți cea mai mică perioadă pozitivă:
1622. Dovada că suma și produsul a două funcții care sunt periodice cu aceeași perioadă T sunt funcții care sunt periodice cu perioada T.
1623 *. Dovada că funcția y = sin x + x>, care este suma a două funcții periodice y = sin x și y = x>, nu este ea însăși periodică.
Acest lucru nu contrazice rezultatul sarcinii anterioare?
1624. Cum se completează graficul funcției y = f (x), periodic cu perioada T, dacă este dată doar în intervalul [0, T]?
Trimiteți-le prietenilor: