Pentru un calculator, este important să se poată clasifica ecuațiile diferențiale, deoarece alegerea unei metode de soluție numerică depinde de aceasta. Ecuațiile diferențiale pot fi clasificate în funcție de mai multe criterii. Să luăm în considerare cele mai importante dintre ele.
- Ecuații diferențiale obișnuite și ecuații diferențiale parțiale.
Dacă funcția necunoscută din ecuația diferențială depinde numai de o variabilă. atunci o astfel de ecuație diferențială se numește o ecuație diferențială obișnuită.
Dacă funcția necunoscută din ecuația diferențială depinde de mai multe variabile. atunci o astfel de ecuație diferențială se numește o ecuație diferențială parțială.
Fluxul staționar de fluid unidimensional într-o conductă este descris printr-o ecuație diferențială obișnuită:
deoarece Funcția necunoscută u (x) depinde numai de o variabilă x.
Fluxul staționar de lichid bidimensional într-o conductă este descris printr-o ecuație diferențială parțială:
Aici funcția necunoscută u (x, y) depinde de două variabile: x, y.
Ordinea ecuației este egală cu ordinea celui mai mare derivat. care intră în ecuația diferențială.
De exemplu, ecuația (1) - I ordonă, ecuația (2) - ordinul II. Ecuația ordinii II în cel mai general caz poate fi reprezentată sub forma:
Ecuațiile de ordinul doi sunt clasificate după cum urmează:
a) dacă B 2 -4AC = 0. apoi ecuația (1.3) este parabolică;
b) dacă B 2 -4AC<0. то уравнение (1.3) является уравнение эллиптическим ;
c) dacă B 2 -4AC> 0. apoi ecuația (1.3) este o ecuație care este hiperbolică.
Ecuația II a ordinului (1.2) este o ecuație parabolică (verificați-o prin reducerea acesteia la forma (1.3) și găsirea a ceea ce expresia B 2 -4AC) este egală cu.
Un exemplu al unei ecuații eliptică este ecuația Poisson care descrie starea de echilibru de distribuție a temperaturii din q sursa de căldură (x, y) (cu q (x, y)> 0 în punctul (x, y), căldura este eliberată, iar când q (x, y)<0 - поглощается):
Ca exemplu de ecuație hiperbolică, dăm ecuația oscilațiilor:
Rețineți că singurul tip de coeficienți de ecuații este determinat de doua derivații și nu depinde de coeficienții primei derivate și funcția, nici membrul liber.
Să considerăm încă o ecuație cu variabile și coeficienți:
Aici A = x, B = 0, C = 1, prin urmare, B 2 -4 AC = -4x. Acest exemplu ilustrează faptul că tipul ecuației cu variabile și coeficienți poate varia de la un punct la altul: pentru x<0 уравнение (1.6) является эллиптическим, при х=0 уравнение (1.6) является параболическим, при х>0, ecuația (1.6) este hiperbolică.
O ecuație diferențială este numită liniară, în care variabila dependentă și toate derivatele sale intră liniar. în special, ele nu se înmulțesc unul pe altul, nu sunt ridicate la putere, ele nu sunt argumente ale funcțiilor transcendentale etc.
De exemplu, ecuațiile (1.4) - (1.6) sunt lineare, iar ecuațiile (1.1) - (1.2) sunt neliniare (explică de ce). Ecuația (1.3) este liniară dacă coeficienții A, B, C, D, E, F nu depind de funcția necunoscută f și derivatele acesteia.
Majoritatea ecuațiilor care descriu fenomenele și procesele termofizice sunt neliniare.
Se consideră că o ecuație diferențială este omogenă dacă nu are termeni care conțin un necunoscut.
Ecuația diferențială a formei (1.3) este omogenă dacă partea dreaptă este egală cu zero pentru toate x și y. În caz contrar, nu este omogenă.
De exemplu, ecuația (1.5) este omogenă, iar ecuațiile (1.1), (1.2), (1.4), (1.6) sunt neomogene. Ecuația (1.3) este omogenă dacă G = 0. și este neomogen dacă G # 0.
Putem rezolva analitic, de regulă, numai ecuații diferențiale liniare obișnuite (și chiar și atunci nu toate) și doar câteva tipuri speciale de ecuații diferențiale parțiale. Pentru toate celelalte ecuații și mai ales pentru ecuațiile și sistemele de ecuații care descriu problemele reale care au o aplicație practică, metodele numerice sunt practic singurele metode de rezolvare.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: