În practică, uneori este necesar să se cunoască cel mai probabil numărul de apariție al unui eveniment în schema Bernoulli, adică pentru care m și fix n, probabilitatea Pn (m) are cea mai mare valoare. Indicăm acest număr cu m0 și îl găsim prin aplicarea formulei Bernoulli. Avem:
Adică, frecvența cea mai probabilă m0 este în intervalul m0 Î[Np -q; np + p], a cărui lungime este egală cu una. Deoarece frecvența cea mai probabilă poate fi exprimată doar ca un număr întreg, ea poate lua fie o valoare dacă limitele sunt exprimate în numere fracționate, fie două valori dacă limitele în sine sunt numere întregi.
Problema 25. Ca urmare a observațiilor pe termen lung, probabilitatea de ploaie 21 / VII în orașul nostru este de 0,3. Găsiți cel mai probabil număr de zile 21 / VII ploioase în următorii 30 de ani.
Deoarece np -q £ m0 £ np + p. atunci cel mai probabil număr de zile ploioase m0 se găsește din dubla inegalitate:
30 × 0,3-0,7 £ m0 £ 30 × 0,3 + 0,3,
În acest interval există o singură soluție întreagă m0 = 9. Adică, cu cea mai mare probabilitate se poate argumenta că în următorii 30 de ani în această zi vor fi ploi doar în 9 cazuri.
Sarcina 26. În grădiniță există 40 de iepuri vaccinați și 10 iepuri de control. Desfășurați 14 iepuri la rând, rezultatul este înregistrat și iepurii sunt trimiși înapoi. Determinați apariția cel mai probabil a unui iepure de control.
14 × 0,2-0,8 £ m0 £ 14 × 0,2 + 0,2; sau 2 £ m0 £ 3.
Problema are două soluții: iepurii de control vor fi fie 2 sau 3. Apoi puteți înlocui aceste numere în formula Bernoulli și asigurați-vă că probabilitățile sunt egale.
Problema 27. În cutie există 100 de piese standard și 20 de piese defecte. Din cutie luați partea, înregistrați calitatea și returnați-o la loc. Numărul cel mai probabil pentru a obține o parte standard este 15. Câte detalii ați verificat?
Soluția. Prin condiția problemei m0 = 15, probabilitatea de a obține partea standard este; . Să găsim n. înlocuind valorile în dubla inegalitate (1.16). Avem:
Soluția inegalității față de n este. sau 17 £ n £ 18,2. astfel verificat sau 17 sau 18 părți.
Analizând dubla inegalitate pentru găsirea celui mai probabil număr de succes în experimentele n, se poate observa rolul special al produsului np. care poate fi considerat ca un număr mediu de succese în studiile n: adică m0 = np.
Problema 28. Primul lucrător pentru schimbare a produs 120 de piese, al doilea -140 piese. Probabilitatea ca aceste produse premium să fie de 0,94 și, respectiv, 0,8. Găsiți numărul cel mai probabil de produse de cel mai înalt grad produs de fiecare lucrător.
Pentru a determina probabilitatea fenomenelor rare, folosim formula Asimptotic Poisson; urmărește teorema următoare.
Teorema.Esli probabilitate eveniment p în fiecare repeta un test legat de numărul de încercări independente n, care este suficient de mare, probabilitatea ca n studii independente eveniment A va avea loc ori m este aproximată prin formula
Legea Poisson este utilizată pentru a determina probabilitatea de apariție a unor m evenimente care au loc în mod independent unul de altul, cu o probabilitate constantă (intensitate medie), numărul n este suficient de mare de testare (n ® ¥), și probabilitatea de apariție a unui eveniment în fiecare studiu, p este mic, adică, p ®0 (sau q ®0).
Valorile aproximative ale probabilității conform formulei Poisson sunt prezentate în tabel și sunt prezentate în tabelul 1 din anexe.
Sarcina 29. Spinnerul servește 1000 de axe. Probabilitatea ruperii firului pe un ax în decurs de 1 min. este egal cu 0,002. Găsiți probabilitatea ca într-un minut ruperea să aibă loc pe mai mult de trei axe.
Soluția. Prin condiția problemei, se știe că n = 1000, p = 0,002, m> 3.
pentru că spargerea firului pe fiecare ax poate sau nu să apară, atunci este un test independent repetat. Faptul că probabilitatea unei spargere a firelor este mică face posibilă utilizarea soluției lui Poisson pentru "rezolvarea fenomenelor rare".
Avem l = np = 1000 × 0.002 = 2.
Folosind formula Poisson, avem:
Sarcina 30. Echipamentul radio este format din 1000 de electroelemente. Probabilitatea eșecului uneia dintre ele în timpul anului de funcționare este 0,001 și nu depinde de starea celorlalte elemente. Care este probabilitatea eșecului:
a) două elemente;
b) cel puțin două și cel mult patru elemente;
c) cel puțin două elemente pe an?
Soluția. Aceste teste independente repetate sunt calculate în conformitate cu formula lui Poisson pentru fenomene rare. Apoi l = np = 1000 × 0,001 = 1. Să găsim probabilitatea din tabelul 1.
Trimiteți-le prietenilor: