Deci, să vedem care este gradul de număr. Pentru a scrie un produs al numărului în sine, notația abreviată este aplicată de mai multe ori. Astfel, în loc de produsul a șase multiplicatori identici 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4, 4 4 sunt scrise și pronunțate "patru în gradul șase".
4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 4 6
Expresia 4 6 se numește puterea numărului, unde:
• 4 - baza gradului;
• 6 - exponentul.
În general, gradul cu baza "a" și exponentul "n" este scris folosind expresia:
- Gradul "a" cu un exponent natural "n", mai mare de 1, este produsul factorilor identici "n", fiecare fiind egal cu numărul "a".
Intrarea este citită astfel: "a la puterea lui n" sau "a n-a putere a numărului a".
O excepție sunt următoarele:
• a 2 - poate fi pronunțat ca "un pătrat";
• a 3 - poate fi pronunțată ca "a într-un cub".
Expresia 0 0 (putere zero până la zero) este considerată lipsită de semnificație.
• (-32) 0 = 1
• 0 234 = 0
• 1 4 = 1
Atunci când rezolvăm exemple, este necesar să ne amintim că ridicarea la o putere este numită găsirea valorii puterii.
Un exemplu. Ridicați la putere.
• 5 3 = 5 • 5 • 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 • 2,5 = 6,25
• (3) 4 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81
4 4 4 4 4 256
Creșterea numărului negativ
Baza unei grade (numărul care este ridicat la putere) poate fi orice număr - pozitiv, negativ sau zero.
- Atunci când un număr pozitiv este ridicat la o putere, se obține un număr pozitiv.
Când valoarea zero este ridicată la gradul natural, se obține zero.
Atunci când un număr negativ este ridicat la o putere, rezultatul poate fi fie un număr pozitiv, fie un număr negativ. Depinde dacă numărul impar sau impar este exponentul.
Să luăm în considerare exemple de creștere a puterii de numere negative.
Din exemplele considerate, este clar că dacă un număr negativ este ridicat la o putere ciudată, atunci se obține un număr negativ. Deoarece produsul unui număr impar de factori negativi este negativ.
Dacă numărul negativ este ridicat la un grad uniform, atunci se obține un număr pozitiv. Deoarece produsul unui număr par de factori negativi este pozitiv.
Un număr negativ, ridicat la un grad uniform, este un număr pozitiv.
- Un număr negativ, ridicat la un grad ciudat, este un număr negativ.
- Pătratul oricărui număr este un număr pozitiv sau zero, adică:
- a 2 ≥ 0 pentru orice a.
• 2 • (- 3) 2 = 2 • (-3) • (-3) = 2 • 9 = 18
• - 5 • (- 2) 3 = - 5 • (-8) = 40
Fiți atenți!
Atunci când rezolvăm exemple de exponentiere, facem de multe ori greșeli, uitând că intrările (- 5) 4 și -5 4 sunt expresii diferite. Rezultatele exponentierii acestor expresii vor fi diferite.
Calculați (- 5) 4 înseamnă a găsi valoarea celei de-a patra puteri a unui număr negativ.
(-5) 4 = (-5) • (-5) • (-5) • (-5) = 625
În timp ce găsirea -5 4 înseamnă că exemplul trebuie rezolvat în 2 acțiuni:
1. Ridicați a patra putere a unui număr pozitiv de 5.
5 4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
2. Setați semnul minus (adică acțiunea de scădere) înainte de rezultat.
-5 4 = - 625
Un exemplu. Calculați: - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37
1. 6 2 = 6 • 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. - (- 1) 4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37
Procedura din exemple cu grade
Calculul unei valori se numește operația de exponentiere. Aceasta este acțiunea a treia etapă.
- În expresii cu puteri care nu conțin paranteze, este mai întâi efectuată exponentierea, apoi multiplicarea și împărțirea, iar la sfârșitul adăugării și scăderii.
- Dacă în expresie există paranteze, atunci în ordinea de mai sus acțiunile sunt efectuate în paranteze, apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.
O diplomă cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care fac posibilă simplificarea calculelor în exemple cu grade.
Proprietatea nr. 1
Produs de putere
- Atunci când se înmulțesc grade cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponenții sunt adăugați.
- un m • a n = a m + n. unde a este orice număr și m, n sunt numere naturale.
Această proprietate a diplomelor acționează și asupra unui produs de trei sau mai multe grade.
Exemple.
• Simplificați expresia.
b • b 2 • b 3 • b 4 • b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezent sub formă de diplomă.
6 15 • 36 = 6 15 • 6 2 = 6 15 + 2 = 6 17
• Prezent sub formă de diplomă.
(0,8) 3 • (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
- Rețineți că în această proprietate a fost vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică adăugării lor.
- Este imposibilă înlocuirea sumei (3 3 + 3 2) cu 3 3. Acest lucru este de înțeles dacă se calculează 3 3 = 27 și 3 2 = 9; 27 + 9 = 36 și 3 5 = 243
- Când se divide gradele cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut de la exponentul dividendului.
- un m • a n = a m-n. unde a este orice număr care nu este egal cu zero și m, n sunt orice numere naturale, astfel încât m> n.
Exemple.
• Notați coeficientul sub forma unui grad
(2b) 5. (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2
• Exemplu. Rezolvați ecuația. Utilizăm proprietatea unor grade parțiale.
3 8. t = 3 4
Răspunsul este: t = 3 4 = 81
Utilizând proprietățile # 1 și # 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectua calcule.
• Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 • 4 m + 2. 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2. 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Rețineți că proprietatea 2 se ocupă numai de împărțirea puterilor cu aceleași baze.
Este imposibil să înlocuiți diferența (4 3 - 4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă se calculează 4 3 = 64 și 4 2 = 16; 64 - 16 = 48 și 4 1 = 4
Fii atent!
- Când gradul este ridicat la putere, gradul de bază rămâne neschimbat, iar exponenții sunt multiplicați.
- (a n) m = a n • m. unde a este orice număr și m, n sunt numere naturale.
• Exemplu.
(a 4) 6 = a 4 • 6 = a 24
• Exemplu. Prezentul 3 20 sub forma unei diplome cu baza 32.
Prin proprietatea de ridicare a unui grad în măsura în care se știe că atunci când creșteți la o putere, indicatorii se înmulțesc, atunci:
- Când gradul este ridicat la puterea produsului, fiecare factor se înmulțește și rezultatele se înmulțesc.
- (a • b) n = a n • b n. unde a, b sunt numere raționale; n este orice număr natural.
(6 • a 2 • b 3 • c) 2 = 6 2 • a 2 • 2 • b 3 • 2 • cu 1 • 2 = 36 a 4 • b 6 • c 2
(x - y) 6 = ((1) 6 • x 2 • 6 • y 1 • 6) = x 12 • y 6
Vă rugăm să rețineți că numărul de proprietate 4, precum și alte proprietăți ale gradelor, și utilizate în ordine inversă.
(a n • b n) = (a • b) n
Adică, pentru a multiplica gradele cu aceiași indicatori, puteți multiplica bazele și lăsa exponentul neschimbat.
• Exemplu. Calculați.
2 4 • 5 4 = (2 • 5) 4 = 10 4 = 10 000
• Exemplu. Calculați.
0,5 16 • 2 16 = (0,5 • 2) 16 = 1
Exemplu de exponentializare a unei fracții zecimale.
4 - (- 0,25) 20 = 4 • 4 20 • (-0,25) 20 = 4 • (4 • (-0,25) 4
- Pentru a ridica gradul de coeficient, putem ridica separat acest divizor și divizorul și împărțim primul rezultat cu al doilea.
- (A. B) n = a n. b n. unde a, b - orice număr rațional, b ≠ 0, n - orice număr natural.
• Exemplu. Reprezintă expresia sub formă de grade private.
(5,3) 12 = 5 12. 3 12
- Atunci când fracțiunea este pusă la putere, este necesar să se ridice atât numerotatorul, cât și numitorul.
Exemple de ridicare la puterea unei fracții.
Cum de a ridica la putere un număr mixt
Pentru a ridica un număr mixt, mai întâi scapă de întreaga parte, transformând numărul mixt într-o fracțiune incorectă. După aceasta, noi ridicăm puterea atât numeratorului, cât și numitorului.
Un exemplu.
fracție Formula exponentiation este folosit ca stânga la dreapta și de la dreapta la stânga, adică să împartă unul cu celălalt același grad de performanță, o singură bază poate fi împărțită în alta, iar exponentul pleca neschimbat.
• Exemplu. Găsiți semnificația expresiei într-un mod rațional.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: