În dinamica unui corp rigid, două tipuri de mișcare de bază sunt considerate: translaționale și rotative. În mișcarea înainte, segmentul care unește oricare două puncte ale corpului se mișcă paralel cu el însuși. Deoarece toate punctele corpului se mișcă în același mod, este suficient să descriem mișcarea unui punct. Când mișcarea de rotație a tuturor punctelor de corpurile solide deplasează pe cercuri ale căror centre se află pe o linie dreaptă, numită axa de rotație (viteza tuturor punctelor sunt perpendiculare pe axa de rotație).
Mișcarea plană a unui corp rigid poate fi reprezentată ca un set de două tipuri de mișcare de bază - rotație față de orice axă și translatare cu viteza axei.
De obicei, axa de rotație este aleasă astfel încât să treacă prin centrul de masă al corpului. Mișcarea de translație a centrului de masă este descrisă de noua lege a lui Newton, iar mișcarea de rotație în sistemul de masă centrală este descrisă de ecuația momentului
în care - momentul de inerție al corpului în raport cu axa de rotație. Rolling cilindru omogen (roțile cu bile), pe un plan fără alunecare între cantitățile liniare ce caracterizează mișcarea centrului de masă (viteza și accelerația) și cantitățile unghiulare (viteza unghiulară și accelerația unghiulară) definind o mișcare de rotație a corpului, există relații
Energia cinetică a unei mișcări plane este
Mișcarea planului poate fi considerată pur rotativă în raport cu axa de rotație instantanee (Secțiunea II, Problema 2.4). Axa instantanee este axa care trece prin puncte fixe ale corpului la momentul dat. Poziția axei instantanee se schimbă cu timpul. De exemplu, în cazul unui cilindru de rulare (bilă, roată), axa instantanee coincide cu linia de contact dintre cilindru și plan în fiecare moment de timp.
La rezolvarea problemelor este necesar:
1) scrie legea lui Newton pentru centrul de masă a unui solid;
2) pentru a înregistra ecuațiile dinamice de bază ale mișcării de rotație, axa de rotație în formă scalară, înlocuind valorile corespunzătoare (accelerația unghiulară, momentul forței, etc.), proiecțiile vectorilor pe axa de rotație;
3) dacă numărul de ecuații înregistrate este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci este necesar să se utilizeze relații cinematice și dinamice între necunoscute. Astfel, obținem un sistem de ecuații, numărul cărora este egal cu numărul de necunoscute.
7.4. Tija uniformă subțire AB a masei se mișcă transversal cu accelerație sub acțiunea forțelor și (fig.58). Găsiți lungimea tijei dacă distanța dintre punctele de aplicare a forțelor este.
Soluția. Prin condiția problemei, tija se mișcă transversal, astfel încât momentul forțelor exterioare care acționează asupra tijei în raport cu orice axă este zero. Alegem ca axă axa care trece prin centrul de masă (punctul C din figura 58) și direcționată perpendicular pe planul figurii, apoi
Centrul de masă al oricărui sistem de particule se mișcă ca și când întreaga masă a sistemului ar fi concentrat în acest moment și toate forțele externe ar fi aplicate la el. Se scrie ecuația de mișcare a centrului de masă al tijei în proeminențe pe axa X:
Rezolvând ecuațiile împreună, obținem valoarea necesară:
7.5. Pe un cilindru solid omogen de masă M și raza R, un fir ușor este înfășurat strâns, la sfârșitul căruia este atașată o sarcină m. La momentul t = 0, sistemul a început să se miște. Dacă nu luați în considerare fricțiunea din axa cilindrului, găsiți dependența de timp:
a) modulul de viteză unghiulară a cilindrului;
b) energia cinetică a întregului sistem.
Soluția. a) Sistemul este alcătuit din două corpuri (Fig.59): masa încărcăturii m. deplasarea translațional-a lungul axei cilindrului X. masa M. Z. relativ axa care trece prin axa cilindrului, perpendicular pe planul desenului „pe noi“ (în Fig.59 icon) care se rotește.
Greutatea este afectată de gravitație și tensiunea firului. Să facem ecuația de mișcare a încărcăturii în proiecții pe axa X
Gravitatea acționează asupra cilindrului. rezistența reacției de fixare și tensiunea firului. Cuplul din jurul axei Z creează numai forța de tensionare a firului (deoarece numai această forță are un umăr relativ la axa Z). Să formuleze ecuația de mișcare a cilindrului în raport cu axa Z:
Momentul inerției cilindrului
Neajunsul filamentului ne permite să luăm în considerare forța de întindere de-a lungul întregului modulo constant al filamentului
Dacă firul nu aluneca în raport cu cilindrul, accelerația tangențială a punctelor sale în contact cu firul, firul este egală cu accelerația în orice punct, și, prin urmare, accelerație și de încărcare
Viteza unghiulară a cilindrului (a se vedea secțiunea I) este
Rezolvând sistemul din ecuațiile (1) - (6), obținem expresii pentru viteza unghiulară a cilindrului
b) Energia cinetică a sistemului este compusă din energia încărcării transmise și energia cilindrului rotativ
Având în vedere acest lucru. găsim energia cinetică a sistemului
7.6. Un cilindru omogen se culisează fără a aluneca de-a lungul unui plan înclinat care face un unghi cu orizontul. Găsiți accelerația cilindrului.
Soluție: direcționați axa X de-a lungul planului înclinat în jos și axa Z - perpendicular pe planul desenului care trece prin centrul masei cilindrului (pictograma din figura 60). Cilindrul efectuează o mișcare plană - translatată (de-a lungul axei X) și rotativă (în raport cu axa Z).
Să arătăm forțele care acționează asupra cilindrului în timp ce acesta se mișcă în jos. Gravitatea acționează asupra cilindrului. și din partea laterală a suprafeței în direcția normală - forța reacției normale a suportului și împotriva direcției de mișcare - forța de frecare (figura 60). Deoarece nu există o alunecare, forța de frecare este forța de frecare.
Ecuația de mișcare translațională a unui cilindru în proeminențele de pe axa X are forma
Ecuația mișcării de rotație a cilindrului față de axa Z care trece prin centrul cilindrului:
unde este momentul inerției cilindrului față de axa de rotație, accelerația unghiulară a cilindrului și raza sa.
Starea absenței alunecării () conduce la ecuație
Rezolvând sistemul ecuațiilor scrise, găsim accelerația cilindrului
7.7. Un cilindru omogen solid cu masa m și cu raza R (figura 61) la momentul t = 0 începe să coboare sub acțiunea gravitației. Neglijând masa filamentului, găsiți accelerația unghiulară a cilindrului.
Soluția. Directionati axa X pe verticală în jos de-a lungul mișcarea cilindrului și axa Z - perpendicular pe planul ce trece prin centrul de masă al cilindrului (Fig.61 pe pictogramă). Cilindrul realizează mișcarea plană - translație de-a lungul axei X și o rotație în jurul axei Z. arată forțele care acționează asupra cilindrului atunci când se deplasează în jos, este forța gravitațională și tensiunea firului. Noi scriem sistemul de ecuații care descriu mișcarea cilindrului. Ecuația mișcării de translație a cilindrului în proiecțiile de pe axa X
unde a este accelerarea centrului de masă al cilindrului.
Ecuația de mișcare de rotație a cilindrului față de axa Z
unde este momentul inerției cilindrului față de axa de rotație, accelerația unghiulară a cilindrului și raza sa.
Firul nu alunecă, deci relația dintre parametrii cinematici
Rezolvând împreună ecuațiile scrise, obținem accelerația unghiulară a cilindrului:
7.8. Un inel omogen de rază R a fost răsturnat la o viteză unghiulară și plasat cu atenție pe un plan orizontal. Cât timp va inelul să se rotească pe plan în cazul în care coeficientul de frecare este.
Soluția. Orientați axa Z perpendicular pe planul orizontal pe care a fost așezat inelul (figura 62). Ecuația mișcării de rotație a inelului în raport cu axa Z:
Să lăsăm un element mic pe inel cu o masă și să găsim momentul forței de frecare a acestui element în raport cu axa Z:
Atunci cuplul forței de frecare a inelului față de această axă este
Considerând că momentul inerției inelului față de axa Z este egal cu. Ecuația de mișcare de rotație are forma:
Când inelul se oprește, viteza sa unghiulară este zero. prin urmare, integrând partea stângă a ecuației de la 0 la 0, iar partea dreaptă de la 0 la. avem
din care exprimăm cantitatea necesară:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: