Undele care rulează sunt valuri care transportă energie în spațiu. Transferul de energie în valuri este caracterizat cantitativ de un vector de densitate a fluxului de energie. Acest vector se numește vectorul de densitate a fluxului. (Pentru undele elastice, vectorul Umov).
Teoria ecuației unui val de călătorie
Când vorbim despre mișcarea corpului, înțelegem mișcarea în spațiu în sine. În cazul mișcării cu undă, nu este vorba despre mutarea mediei sau a câmpului, ci despre mutarea stării excitate a mediului sau a câmpului. Într-un val, o anumită stare, localizată mai întâi într-un loc al spațiului, este transmisă (mutată) în alte puncte din spațiu din apropiere.
Starea mediei sau a câmpului la un anumit punct din spațiu este caracterizată de unul sau mai mulți parametri. Acești parametri, de exemplu, într-o undă formată pe un șir, reprezintă abaterea unei secțiuni date dintr-un șir din poziția de echilibru (x), într-un val sonor în aer, o valoare care caracterizează compresia sau expansiunea aerului. în valul electromagnetic sunt modulele vectorilor și. Cel mai important concept pentru orice val este faza. Faza este înțeleasă ca starea undei la un anumit punct și la un moment dat, descrisă de parametrii corespunzători. De exemplu, faza unui val electromagnetic este dată de modulele vectorilor și. Faza de la punct la punct se schimbă. Astfel, faza valului în sensul matematic este o funcție a coordonatelor și a timpului. Noțiunea de suprafață a undelor este legată de conceptul de fază. Aceasta este suprafața, toate punctele din care sunt în același timp în aceeași fază, adică aceasta este suprafața unei faze constante.
Conceptele suprafeței și fazei undelor ne permit să realizăm o anumită clasificare a undelor în funcție de natura comportamentului lor în spațiu și timp. Dacă suprafețele undei se mișcă în spațiu (de exemplu undele obișnuite pe suprafața apei), atunci valul se numește funcționare.
Valurile de rulare pot fi împărțite în: plane, sferice și cilindrice.
Ecuația unui val de avion de călătorie
sau (care este același lucru)
unde x poate însemna orice parametru care caracterizează starea mediului (de exemplu, presiunea, temperatura etc.); A este amplitudinea undei; w - frecvența ciclică; r este distanța de la sursa excitantă a valului până la punctul spațiului în care se ia în considerare schimbarea unei anumite proprietăți a mediului, este viteza undei; - faza inițială a valului (selectată de origine). În plus, ele diferă printr-o schimbare de - numărul valului; - lungimea de undă; expresia se numește faza valului.
Forma de undă exponențială a ecuației valului de deplasare
Forma exponențială de scriere a ecuației (1) are forma:
unde este vectorul de rază tras în curentul considerat al mediului; - vectorul de undă; - vector de unitate care indică direcția undei, - amplitudine complexă.
Pentru ecuația (2), trebuie remarcat faptul că o astfel de formă de scriere este convenabilă pentru diferențierea ecuațiilor de undă. Cu toate acestea, numai partea reală a expresiei exponențiale are un înțeles fizic.
Ecuația unui val sferic și cilindric
În forma exponențială, ecuația unui val sferic are forma:
unde este amplitudinea complexă. Peste tot, în afară de un punct singular r = 0, funcția x satisface ecuația valurilor.
Ecuația valului cilindric de deplasare:
unde r este distanța față de axă.
unde este amplitudinea complexă.
Exemple de rezolvare a problemelor
Un val de sunet neîntrerupt este excitat de o sursă de oscilații de frecvență. Amplitudinea oscilațiilor sursei a. Scrieți ecuația oscilațiilor sursei x (0, t), dacă la momentul inițial deplasarea punctelor sursă este maximă.
Noi scriem ecuația unui val de călătorie, știind că este plat:
Folosim în scris ecuația w =, scriem (1.1) în momentul inițial al timpului (t = 0):
Din condițiile problemei se știe că în momentul inițial deplasarea punctelor sursă este maximă. În consecință ,.
Obținem :. de aici în punctul unde se află sursa (adică la r = 0).
Figura prezintă o diagramă a deplasărilor într-un val de deplasare al planului longitudinal pentru o anumită perioadă de timp t. Desenați un grafic aproximativ al densității de energie w pentru același timp t în cadrul acestui grafic.
Figura prezintă o "instantanee" a deplasării particulelor într-un val de călătorie
Pornind de la figură, valul poate fi descris de o ecuație la o anumită t instant:
În cazul unui val de plan longitudinal, densitatea energetică este exprimată ca:
unde este densitatea mediei în care se propagă undele, este viteza mișcării vibraționale a particulelor de-a lungul axei x.
Înlocuind (2.1) în (2.3) și apoi în (2.2), obținem:
. Plecând de la funcția obținută, tragem un grafic al densității energetice a undelor transportate (Figura 2)
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: