Sistemul de ecuații simultane

Un exemplu. Luați în considerare modelul de dependență a valorii totale a cheltuielilor pentru alimente la venitul personal disponibil (x) și la prețul alimentelor (p): y = a0 + a1 x + a2 p + ε. Definim clasa de model și forma variabilelor de model: un model de regresie cu o singură ecuație; variabilă endogenă - costul alimentelor, variabilele exogene - venitul personal disponibil și prețul alimentelor.

Principalele dificultăți în aplicarea sistemelor de ecuații econometrice sunt asociate cu erori în specificarea modelului.

1. Sistem de ecuații independente. când fiecare variabilă dependentă (y) este tratată doar ca funcție a variabilelor predefinite (x):
   
2. Sistem de ecuații recursive. când în fiecare ecuație ulterioară a sistemului variabila dependentă reprezintă o funcție a variabilelor dependente și predefinite ale ecuațiilor precedente:
   
   În cele două tipuri de sisteme considerate, fiecare ecuație poate fi considerată independent, iar parametrii săi pot fi determinați folosind metoda celor mai mici pătrate (OLS).
3. Sistem de ecuații interdependente (simultane, simultane). când variabilele dependente din unele ecuații intră în partea stângă (adică ele acționează ca indicatori de rezultat), iar în celelalte ecuații - în partea dreaptă a sistemului (adică, acționează ca factori-factori) simultan:
   
   Partea dreaptă a formei structurale a sistemului interdependent poate fi variabilele endogene.

Din forma structurală, este ușor să treceți la așa-numita formă redusă a modelului. Numărul de ecuații în forma redusă este egal cu numărul variabilelor endogene ale modelului. În fiecare ecuație a formei reduse, variabila endogenă este exprimată prin toate variabilele de model predefinite:

Din moment ce partea dreaptă a fiecărei ecuații a formei reduse conține doar variabile predeterminate și reziduuri, iar partea stângă doar una dintre variabilele endogene, atunci un astfel de sistem este un sistem de ecuații independente. Prin urmare, parametrii fiecărei ecuații de sistem în forma redusă pot fi determinate independent de cele mai mici pătrate obișnuite.
Cunoscând estimările acestor coeficienți redus, se pot determina parametrii formei structurale a modelului. Dar nu întotdeauna, ci numai dacă modelul este identificabil.

Problemă de identificare

Modelul este considerat precis dacă toate ecuațiile sale sunt identificate cu precizie.
Dacă între ecuațiile modelului există cel puțin o ecuație supraidentificată, atunci întregul model este considerat overidentified.
Dacă între toate ecuațiile modelului există cel puțin una neidentificată, atunci întregul model este considerat neidentificat.
O ecuație se numește precis identificată dacă estimările parametrilor structurali pot fi determinate în mod unic (în singurul mod) de coeficienții modelului redus.
Ecuația este supraidentificată dacă pot fi obținute mai multe valori numerice pentru anumiți parametri structurali.
O ecuație se numește neidentificată dacă estimările parametrilor ei structurali nu pot fi găsite din coeficienții modelului redus.

Numărul de coeficienți structurali și redus este același în modelul identificat.

Norme de identificare

Normele de identificare sunt necesare și condiții suficiente de identificare (se aplică numai formei structurale a modelului).
Introducem următoarea notație:
M este numărul de variabile predefinite din model;
m este numărul de variabile predefinite din această ecuație;
K este numărul variabilelor endogene din model;
k este numărul de variabile endogene din această ecuație.
Condiția necesară (dar insuficientă) pentru identificarea ecuației modelului:
Pentru ca ecuația modelului să fie identificabilă, este necesar ca numărul de variabile predefinite care nu sunt incluse în ecuație să fie cel puțin "numărul de variabile endogene care intră în ecuația minus 1", adică M-m> = k-1;
Dacă M-m = k- 1. ecuația este exact identificată.
Dacă M-m> k-1, ecuația este supraidentificată.
Aceste reguli trebuie aplicate în forma structurală a modelului.
O condiție suficientă pentru identificarea ecuației modelului.
Introducem notația: A este matricea coeficienților pentru variabilele care nu intră în ecuația dată.
O condiție suficientă pentru identificare este aceea că rangul matricei A trebuie să fie egal cu (K -1). Rangul matricei este dimensiunea celei mai mari submatrice pătrate, a cărui determinant nu este zero.
Formăm condițiile necesare și suficiente pentru identificarea ecuației modelului:
1) Dacă M-m> k -1 și rangul matricei A este egal cu K -1, atunci ecuația este supraidentificată.
2) Dacă M-m = k-1 și rangul matricei A este egal cu K-1, atunci ecuația este identificată cu precizie.
3) Dacă M-m> = k -1 și rangul matricei A este mai mic decât K -1, atunci ecuația nu este identificată.
4) Dacă M-m

Estimarea ecuației precis identificate se realizează cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate (KMNC).
Algoritmul CICA include 3 etape:
1) compilarea formei reduse a modelului și exprimarea fiecărui coeficient al formei reduse prin parametrii structurali;
2) aplicarea OLS obișnuite la fiecare ecuație a formei reduse și obținerea estimărilor numerice ale parametrilor reduși;
3) determinarea estimărilor parametrilor formei structurale prin estimarea coeficienților redus, folosind relațiile găsite în etapa 1.
Evaluarea ecuației supra-identificate se realizează utilizând o metodă în două etape a celor mai mici pătrate.

Algoritmul OLS în două etape

Algoritmul OLS în doi pași include următorii pași:
1) compilarea formei reduse a modelului;
2) aplicarea OLS obișnuite la fiecare ecuație a formei reduse și obținerea estimărilor numerice ale parametrilor reduși;
3) determinarea valorilor calculate ale variabilelor endogene, care apar ca factori în forma structurală a modelului;
4) determinarea parametrilor structurali ai fiecărei ecuații individual prin MNC obișnuit, utilizând variabilele predeterminate și valorile calculate ale variabilelor endogene obținute în etapa 1 ca factori.

Cu alte cuvinte, secvența corectă de pași din algoritmul de aplicare a OLS în două etape include:
I. Transformarea formei structurale a modelului într-unul redus.
II. Procesul de estimare a parametrilor formei reduse prin intermediul celor mai mici pătrate.
III. ObŃinerea valorilor teoretice ale variabilelor endogene din partea dreaptă a ecuaŃiei overidentified a modelului conform ecuaŃiilor reduse corespunzătoare.
IV. Procesul de estimare a parametrilor ecuației modelului overidentificat prin valorile teoretice ale valorilor endogene și reale ale variabilelor predefinite;

Să luăm în considerare un exemplu.
Să existe un sistem:

Este necesară compilarea formei reduse a modelului, verificarea fiecărei ecuații a modelului structural de identificare și propunerea unui mod de estimare a parametrilor formei structurale a modelului.

soluţie:
În acest sistem y1. y 2, y 3 - variabilele endogene (K = 3);
x1. x 2. x3 - variabile predefinite (M = 3).
K-1 = 2; K + M = 6.
Să compunem forma redusă a modelului:

Să verificăm modul în care este îndeplinită condiția de identificare necesară pentru fiecare ecuație.
Pentru prima ecuație avem: k1 = 3; m1 = 2;
M-m1 = 1 Pentru a doua ecuație avem: k2 = 2; m2 = 1;
M-m2 = 2> k2 -1 = 1, prin urmare, a doua ecuație este supraidentificată.
Pentru a treia ecuație avem: k3 = 2; m3 = 2;
M-m3 = 1 = k 3-1 = 1, prin urmare, a treia ecuație este identificată cu exactitate.
Să analizăm modul în care este îndeplinită o condiție de identificare suficientă pentru fiecare ecuație a sistemului. Pentru a fi îndeplinită este necesar ca determinantul matricei A (matricea coeficienților cu variabile care nu sunt incluse în această ecuație) să fie egală cu K -1 = 2.
Formăm matricea A pentru prima ecuație a sistemului. În prima ecuație există o singură variabilă a sistemului x3. Prin urmare, matricea A va avea forma:
x3
0 în a doua ecuație
a33 - în a treia ecuație

Rangul acestei matrici este 1, care este mai mic decât K -1 = 2, prin urmare, prima ecuație a modelului este neidentificată.
Formăm matricea A pentru a doua ecuație a sistemului. În a doua ecuație nu există variabile y3. x2. x3.
y3 x 2 x3
b13a13 0 - în prima ecuație
1 a32a33 - în a treia ecuație
Rangul acestei matrice este 2, care este egal cu K -1 = 2, prin urmare, a doua ecuație a modelului este identificată cu exactitate.
Formăm matricea A pentru a 3-a ecuație a sistemului. În a treia ecuație nu există variabile y1. x2.
y 1 x 2
1 a12 - în prima ecuație
b21 0 - în a doua ecuație
Rangul acestei matrici este 1, care este mai mic decât K -1 = 2, prin urmare, a treia ecuație a modelului este neidentificată.

Să tragem concluzii. Ecuațiile 1 și 3 ale sistemului nu sunt identificate (deoarece nu sunt îndeplinite condițiile suficiente de identificare, iar în cazul ecuației 1, este și condiția necesară). A doua ecuație a sistemului este overidentified. În consecință, sistemul ca întreg nu poate fi identificat.
Pentru a estima parametrii celei de-a doua ecuații, puteți aplica un OLS în două etape. Parametrii primelor și a treia ecuații nu pot fi determinate din coeficienții formei reduse. Prin urmare, modelul trebuie modificat.

Articole similare

• Boli ale sistemului endocrin

• Biblioteca electronică iprbooks

• Cum funcționează sistemul de creștere a peștilor agro-piscicole, echipamentele de creștere a peștilor și

Trimiteți-le prietenilor: