Fig. 3.12. O ilustrare geometrică a metodei lui Newton.
Pe intervalul de existență al rădăcinii, este aleasă aproximația inițială x0. Linia tangentă este trasă la curba f (x) la punctul A cu coordonatele (x0, f (x0)). Abcesul x1 al punctului de intersecție al acestei tangente cu axa OX este o nouă aproximație a rădăcinii.
Din figura rezultă că x1 = x0 - CB
din # 8710; ABC: CD =. Dar.
În mod similar, pentru aproximarea i, putem scrie formula procesului iterativ al metodei lui Newton:
Sfârșitul calculului :. (3.14)
unde este creșterea sau corecția corecției.
Condiția de convergență a procesului iterativ:
Dacă semnalele u nu se modifică pe intervalul de existență al rădăcinii, atunci aproximația inițială care asigură convergența trebuie aleasă din starea
și anume la punctul de aproximare inițială, semnele funcțiilor și cel de-al doilea derivat trebuie să coincidă.
Fig. 3.13. O ilustrare geometrică a alegerii aproximației inițiale: graficul f (x) este concav. atunci x0 = b; f (b)> 0.
Dacă alegem x0 = a, atunci procesul iterativ converge mai lent sau chiar deviază (vezi tangenta pentru x0 = a).
Fig. 3.14. O ilustrare geometrică a alegerii aproximației inițiale: graficul f (x) este convex, f "(x)<0. тогда x0 =a, т.к. f(a)<0.
Metoda lui Newton, spre deosebire de metodele considerate anterior, utilizează proprietățile funcției sub forma unei valori derivate, care accelerează foarte mult procesul iterativ. Mai mult decât atât, cu cât este mai mare valoarea valorii absolute a derivatului în vecinătatea rădăcinii (cu cât este mai abruptă graficul funcției), cu atât convergența este mai rapidă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: