Două sisteme de vectori # 945; și # 946; se spune că sunt echivalente dacă fiecare vector
Oferta. Rangul sistemelor echivalente este același.
Schimbarea locurilor # 945; și # 946; locații → r> = k >>> Prin urmare, r = k.
Definiția. Să presupunem că ni se dă o matrice A =
Rangul matricei A este rangul sistemului de vectori # 945; 1, # 945; 2, ..., # 945; m, compus din matricea >> rank (A) -ang
Din definiție rezultă că rangul nu se schimbă atunci când coloanele sunt rearanjate. Vom arăta. că atunci când coloanele sunt rearanjate, rangul nu se schimbă.
Teorema principală pe rândurile unei matrice.
Rangul matricei coincide cu ordinea maximă a minorilor non-zero ai acestei matrici.
Dovada. să presupunem că există o minoră din ordinea n care nu este egală cu zero în matrice și toți minorii ei mai mari sunt zero. Dovedeste-o. că rangul matricei este n.
Deplasând rândurile și coloanele, putem muta acest minor în colțul din stânga sus.
Să dovedim asta. că primele rânduri r sunt liniar independente și că orice altă linie de combinație liniară a liniilor r: în cazul în care primele rânduri r sunt dependente liniar, ceea ce a fost rândul o combinație liniară a celorlalți, același lucru ar fi valabil și pentru minor dedicat și el a fost egal cu 0.
Să demonstrăm că orice rând este o combinație liniară a acestor șiruri de caractere:
Se compune determinantul (adăugăm linia i) D1 = 1<=j<=r
Dacă j<=r в определителе два одинаковых столбца и определитель равен 0
Dacă i> r, atunci minorul r + 1 este de ordinul 0.
aij = (a1j (-1) r + 2 D1 (1 | r + 1) + A2J (-1) r + 3 D1 (2 | r + 1) + ...)
Întregul rând i este o combinație liniară a primelor linii r
Sledstvie.1) sunt transpuse matricea nu schimbă rangul (rangul matricei poate fi determinată de rânduri unice. Coloanele și 2) Determinantul unei matrice pătratică este 0, dacă și numai dacă unele matrice linie este o combinație liniară a celorlalte. (O condiție necesară și suficientă pentru determinantul unei matrice pătrate a fi zero)
Dovada. Se dă matricea A n × n. | A | = 0
Dacă | A | = 0, atunci ordinea maximă a minorilor non-zero este mai mică decât n. Din teorema principală rezultă că rangul (A) Rangul produsului matricelor. Syst. Coord. în spațiul afin. punctul O (începutul coordonatei) și o bază în spațiul vectorilor. Adesea sist. Coord. pe pl-ti setat de doi trase linii drepte, începutul co-ordonării. există un punct intersecția liniilor și vectorii de bază lungimea unității și lungimea corespunzătoare. directă. În cazul în care este selectat. Coord. atunci fiecare punct P primește o coordonată: acesta este coordonatorul. vector, mergând de la început la acest punct, calculată în baza de date selectată. Proprietățile determinantului ordinului n. 1. | A | = | A T | Atunci când matricea este transpusă, determinantul nu se schimbă. 2. Dacă un rând al matricei constă în 0, atunci determinantul = 0. A [k | *] = 0 → | A | = 0. Fiecare termen conține un element al rândului k, prin urmare întregul produs = 0. 3. A [k | *] → cA [k | *] = | A | → c | A | 4. Dacă două rânduri sunt schimbate în matrice, atunci determinantul matricei modifică semnul. 5. Dacă există 2 rânduri identice în matrice, atunci determinantul său este 0. Schimbăm rândurile egale | A | = - | A | → | A | = 0 7. Dacă un anumit rând al matricei este o combinație liniară a celorlalte, determinantul este 0. A [n | *] = # 931; bk A [k | *] 8. Dacă o combinație liniară a celorlalte este adăugată la un anumit rând al matricei, determinantul nu se schimbă. A [n | *] → A [n | *] + # 931; bk A [k | *] Descompunerea factorului determinant într-un rând. Teorema: pentru orice matrice pătrată, sunt valabile următoarele formule: | A | = # 931; i A [i | j] Aij = # 931; j A [i | j] Aij 2. (din matricea A i coloana a fost mutată până la capăt, am obținut matricea B) | B | = ani Bnn 1 1 ... 1 Se scade prima coloană din toate celelalte x1 n-1 x2 n-1, ... xn n -1 mai expansiune în prima linie după fiecare linie scăzută din linia precedentă înmulțit cu daleemy x1 pot fi luate în afara semnul factorului comun determinant egal cu prima coloană (x2 -X1) factor comun al doua coloană x3-x1 și așa mai departe, vom obține # 916; (x1, x2 ... xn) = (x2-x) (X3-x1) ... (xn-x1) # 916; (x2, x3 ... xn) cu partea dreaptă a determinantului va face același lucru, continuând acest raționament în continuare se obține în final det inițial determinant (A) = (x2-x1) (x3-x1) ... (xn-x1) (x3-x2) ... (xn-x2) ... (xn-1-xn) determinant Vandermonta. Matrice inversă Definiție: O matrice B este numită matrice inversă pentru o matrice pătrată A dacă. Din definiția rezultă că matricea inversă A este o matrice pătrată de aceeași ordine ca matricea (altfel unul dintre produse ar fi fie nedefinit). Matricea inversă pentru matrice este notată. Deci, dacă există, atunci. Din definiția matricei inverse rezultă că matricea este inversa matricei. care este. Despre matricea și putem spune că acestea sunt inverse reciproc sau invers. Propoziția Dacă matricea are invers, atunci. Dovada. Deoarece determinantul produsului matricelor este egal cu produsul determinanților. atunci. . prin urmare,. care este imposibil la. De asemenea, rezultă din egalitatea precedentă. Ultima propoziție poate fi formulată după cum urmează.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: