1. Atunci când matricea este transpusă, determinantul ei nu se modifică:
2. Când se schimbă două rânduri (coloane), semnul determinant se schimbă:
3. Atunci când se înmulțesc elementele unui rând (coloană) al unui determinant cu un anumit număr, întregul determinant se înmulțește cu acest număr :.
Corolar: multiplicatorul comun al elementelor din orice rând (coloană) poate fi luat în afara semnului determinantului.
4. Valoarea determinantului nu se va schimba dacă la elementele unui rând se adaugă elementele corespunzătoare ale celuilalt rând, înmulțit cu același număr :.
5. Factorul determinant având rândul zero (coloana) este 0:
Corolar: Un determinant care are două rânduri egale (coloane) sau două rânduri proporționale (coloane) este egal cu 0 :. .
8. Dacă pentru elementele oricărui rând sau coloană a matricei este valabilă următoarea relație: ,,, este adevărat:
Dovezile acestor proprietăți rezultă din regulile pentru calcularea determinantului și sunt valabile pentru determinanții oricărei ordini.
De exemplu, dovedim proprietatea 3 pentru determinantul ordinii a doua:
Calculul determinantului ordinului n
· Minorul factorului determinant al ordinii este determinantul ordinii, obținut din original prin ștergerea rândului și coloanei (la intersecția căreia este localizat elementul selectat).
Pentru elementul determinant, avem
O completare algebrică a unui element determinant este minorul său, luat cu semnul "", dacă suma este egală, altfel cu semnul "-".
Exemplu: Pentru un element determinant, avem:
Teorema 1 Factorul determinant este egal cu suma produselor elementelor din oricare dintre rândurile sau coloanele sale prin complementare algebrice corespunzătoare:
(prima linie) sau
(în această coloană).
Demonstrăm teorema pentru determinantul ordinii a treia.
Pentru o matrice compunem și transformăm suma produselor din elementele primei linii în complementarele algebrice corespunzătoare:
Teorema 2. Suma produselor elementelor dintr-un rând (coloană) de matrice pătrată de complementul algebric al elementelor corespondente ale unui alt rând (coloană) este zero.
►Completele algebrice ale elementelor unei tabele cu numere pătrate conțin toate liniile (inclusiv rândul i) din tabelul original de numere, cu excepția rândului k. Sumarea determină valoarea determinantului tabelului cu număr pătrat obținut din înlocuirea originală a elementelor din rândul k prin elementele corespunzătoare ale rândului i.
De exemplu, suplimentele algebrice ale elementelor dintr-o tabelă pătrată de numere de dimensiuni conțin elemente ale rândurilor a doua și a treia. apoi:
- elementele liniei 1 au fost înlocuite cu elementele liniei a doua.
Astfel. determinantul rezultat va avea două linii identice (i-a).
Prin proprietăți, valoarea unui astfel de determinant este zero. # 9632;
Observație: Pentru extinderea unui determinant, se alege de obicei acel rând sau coloana în care există elemente zero, deoarece termenii corespunzători din expansiune vor fi zero.
Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor situate pe diagonală.
Determinantul matricei de identitate este 1, adică.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: