Formula lui Simpson online


Termenul rămas al formulei de cvadratură Simpson este egal cu, unde sau

Scopul serviciului. Serviciul este conceput pentru a calcula un integral integral folosind formula Simpson în modul online (a se vedea exemplul).







Determinarea formulei lui Simpson

Din formula
pentru n = 2 obținem

pentru că x2-x0 = 2h, atunci avem. (10)
Aceasta este formula lui Simpson. Geometric, acest lucru înseamnă că curba y = f (x), înlocuim parabolei y = L2 (x), trecând prin trei puncte: M0 (x0, y0), M1 (x1, y1), M2 (x2, y2).


Termenul rămas al formulei Simpson este



Să presupunem asta. O expresie explicită pentru R. Fixarea punctului de mijloc x1 și considerând R = R (h) ca funcție de h, avem:
.
Prin urmare, diferențierea succesivă de trei ori cu privire la h. avem



În cele din urmă avem
,
în cazul în care. În plus, avem: R (0) = 0, R '(0) = 0. R "(0) = 0. Acum, integrând secvențial R "(h), utilizând teorema valorii medii, obținem

Astfel, restul termenului din formula de cvadratură Simpson este






, în cazul în care. (11)
În consecință, formula Simpson este exactă pentru polinomi de nu numai al doilea, dar și al treilea grad.
Acum obținem formula Simpson pentru un interval arbitrar [a, b]. Fie n = 2m un număr par de noduri de rețea,

și yi = f (xi). Aplicând formula Simpson (10) la fiecare interval dublu de lungime 2h. vom avea

Prin urmare, obținem formula generală a lui Simpson
.(12)
Eroarea pentru fiecare interval dublu este dată de formula (11).

pentru că numărul de goluri dublate este m.

Luând în considerare continuitatea lui y IV pe [a, b], se poate găsi un punct ε astfel încât.
Prin urmare, avem
. (13)
Dacă este dată eroarea maximă admisă ε, atunci, indicând, ajungem să determinăm pasul h
.
În practică, calculul R prin formula (13) este dificil. În acest caz, putem proceda după cum urmează. Calculăm integralele I (h) = I1 cu pasul h. I (2h) = I2 cu pasul 2h, etc. și se calculează eroarea δ:
δ = | Ik-Ik-1 | ≤ ε. (14)
În cazul în care inegalitatea (14) deține (ε - eroarea definită), apoi pentru evaluarea preluării integrale Ik = I (k · h).
Notă. Dacă grila este neuniformă, formula Simpson dobândește următoarea formă (obține independent)
.
Fie numărul de noduri n = 2m (egal). atunci
unde hi = xi-xi-1.

Un exemplu. Folosind formula Simpson, calculați integralele luând n = 10.
Soluție: Avem 2m = 10. De aici. Rezultatele calculelor sunt prezentate în tabel:







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: