Seria Fourier este continuă pe o singură parte, monotonă în parte și limitată pe intervalul (-l; l) converge întreaga axă numerică.
Suma seriei Fourier S (x).
- este o funcție periodică cu perioada 2l. Funcția u (x) se numește periodică cu perioada T (sau T-periodice) dacă pentru orice x regiune R, u (x + T) = u (x).
- pe intervalul (-l; l) coincide cu funcția f (x), cu excepția punctelor de discontinuitate
- la punctele de discontinuitate (de primul fel, deoarece funcția este limitată) a funcției f (x), iar la capetele intervalului se iau valorile medii:
.
Se spune că funcția se descompune într-o serie Fourier pe intervalul (-l; l) :.
Dacă f (x) este o funcție uniformă, atunci numai funcțiile chiar participă la extinderea acesteia, adică bn = 0.
Dacă f (x) este o funcție ciudată, atunci numai funcțiile impare participă la expansiunea sa, adică a = 0
Seria Fourier a funcției f (x) pe intervalul (0; l) peste cosinele mai multor arce este o serie:
, unde
.
Seria Fourier a lui f (x) pe intervalul (0; l) peste sinele mai multor arce este o serie:
, în cazul în care.
Suma seriei Fourier cu privire la cosinele mai multor arce este o funcție periodică uniformă cu perioada 2l. care coincide cu f (x) pe intervalul (0; l) în punctele de continuitate.
Suma seriei Fourier față de sinele mai multor arce este o funcție periodică periodică cu perioada 2l. care coincide cu f (x) pe intervalul (0; l) în punctele de continuitate.
Seria Fourier pentru o anumită funcție în cadrul acestui interval are proprietatea de unicitate, adică în cazul în care expansiunea este obținută prin orice altă metodă decât folosind formule, de exemplu, prin selectarea coeficienților, acești coeficienți coincid cu cele calculate prin formule.
Exemplul №1. Extindeți funcția f (x) = 1:
a) în seria Fourier completă pe intervalul (-π; π);
b) într-o serie de sine de arce multiple în intervalul (0; π); trasează seria Fourier rezultată
Soluția.
a) Expansiunea într-o serie Fourier pe intervalul (-π; π) are forma:
,
toți coeficienții bn = 0, deoarece această funcție este echilibrată; în acest fel,
Evident, egalitatea va fi îndeplinită dacă luăm
a0 = 2, a1 = a2 = a3 = ... = 0
Din cauza proprietății unicității, acesta este coeficientul necesar. Astfel, descompunerea cerută: sau pur și simplu 1 = 1.
În acest caz, când seria coincide identic cu funcția sa, graficul seriei Fourier coincide cu graficul funcției pe linia întregului număr.
b) Extinderea în intervalul (0; π) de-a lungul sineselor de arce multiple are forma:
Este evident imposibil să se aleagă coeficienții, astfel încât egalitatea să fie satisfăcută în mod identic. Folosim formula pentru calcularea coeficienților:
Astfel, pentru n (n = 2k) avem bn = 0, pentru nod (n = 2k -1) -
În cele din urmă ,.
Să construim graficul seriei Fourier obținute, folosind proprietățile sale (vezi mai sus).
Mai întâi, vom construi un grafic al acestei funcții într-un interval dat. Apoi, folosind curiozitatea sumei seriei, vom continua graficul simetric cu originea:
Continuând periodic pe întreaga axă numerică:
Și în sfârșit, la punctele de pauză, completați valorile medii (între limitele din dreapta și din stânga):
Exemplul 2. Extindeți funcția pe intervalul (0; 6) de-a lungul sunetelor mai multor arce
Soluția. Extinderea necesară are forma:
Deoarece partea stângă și dreaptă părți conțin numai păcatul funcție pe diferite argumente, trebuie să verificați dacă același lucru la orice valori ale lui n (naturale!) Sinusul argumentului de pe partea stângă și dreaptă ale ecuației:
sau, de unde n = 18. Prin urmare, un astfel de termen este conținută în partea dreaptă și coeficientul de ea trebuie să coincidă cu coeficientul din stânga: b18 = 1;
sau, de unde n = 4. Prin urmare, b4 = -5.
Astfel, folosind alegerea coeficienților, am reușit să obținem expansiunea dorită:
Exemplul №3. Extindeți funcția lui Fourier
Soluția. Mai întâi, calculăm T = 4 și ω = 2π / 4 = π / 2. Acum găsim
Primul integral se găsește
A doua părți integrale preia, selectând u = 3x, dv = cos (πnx / 2), apoi du = 3DX, v = sin (πnx / 2) / (πn / 2). Avem
Deci, pentru n = 1, 3, 5. an = 2 / (π 2 n 2). și pentru n = 2, 4, 6. an = 0.
În mod similar, aflăm
Ca rezultat, obținem extinderea
Articole similare
-
O serie generalizată de Fourier și un sistem de funcții de bază - stadopedia
-
Pedagogia pedagogică - șeful funcției de diagnostic pedagogic online
Trimiteți-le prietenilor: