Număr natural 2

Numerele naturale sunt numere. care apar în mod natural în calcul (atât în ceea ce privește enumerarea, cât și în sensul calculului).

Există două abordări ale definirii numerelor naturale - numerele utilizate pentru:

enumerarea (numerotarea) obiectelor (prima, a doua, a treia ...) este o abordare general acceptată în majoritatea țărilor lumii (inclusiv în Rusia).
numărul de obiecte (nu există obiecte, un obiect, două obiecte ...). Adoptat în scrierile lui Bourbaki. unde numerele naturale sunt definite ca puterile seturilor finite.

Numerele negative și non-întregi nu sunt numere naturale.

Setul de numere naturale este de obicei semnat de semnul \ (\ mathbb \).

Există un set infinit de numere naturale - pentru orice număr natural există un alt număr natural mai mare decât acesta.

Numerele naturale pot fi folosite pentru un cont (un măr, două mere, etc.).

Axiomele lui Peano [modifică]

Introducem funcția \ (S \), care asociază numărul \ (x \) cu numărul următor.

\ (1 \ in \ mathbb \) (\ (1 \) este un număr natural);
Daca \ (x \ in \ mathbb \), atunci \ (S (x) \ in \ mathbb \) (Numarul urmator numarului natural este, de asemenea, natural);
\ (\ nexists x \ in \ mathbb \ (S (x) = 1) \) (1 nu urmeaza nici un numar natural);
Daca \ (S (b) = a \) si \ (S (c) = a \), atunci \ (b = c \ , iar pentru numărul \ (c \), apoi \ (b = c \));
Axiomul de inducție. Fie \ (P (n) \) un predicat cu un loc. care depinde de parametrul - numărul natural \ (n \). apoi:

Dacă \ (P (1) \) și \ (\ forall n \ (P (n) \ Rightarrow P (S (n))) Dacă o declarație \ (P1) este adevărată pentru \ (n = 1 \) (baza de inducție) și pentru orice \ (n \), presupunând că \ (P (n) +1) \) (ipoteza de inducție), atunci \ (P (n) \) este adevărat pentru orice număr natural \ (n \)).

Definiție definiție teoretică [editați]

Conform teoriei setului. Singurul obiect al construirii oricărui sistem matematic este setul.

Astfel, se introduc numere naturale, pornind de la conceptul unui set, în conformitate cu două reguli:

Numerele date în acest fel sunt numite ordinal.

Primele numere ordine și numerele lor naturale corespunzătoare:

Clasele de echivalență ale acestor seturi cu privire la bijecții indică de asemenea 0, 1, 2, ....

Uneori, în literatura străină și tradusă, în prima și a treia axiomă se înlocuiește \ (1 \) cu \ (0 \). În acest caz, zero este considerat un număr natural.

În literatura rusă, de obicei zero este exclusă din numărul de numere naturale \ (0 \ notin \ mathbb \), iar setul de numere întregi pozitive cu zero este notat cu \ (\ mathbb_0 \).

Dacă zero este inclusă în definiția numerelor întregi pozitive, atunci setul de numere întregi pozitive este scris ca \ (\ mathbb) și fără zero ca \ (\ mathbb ^ * \).

Operații asupra numerelor naturale [edit]

Operațiile închise (operații care nu deduc un rezultat din setul de numere naturale) peste numere naturale includ următoarele operații aritmetice:

Adăugarea. Summand + Termenul = suma
Multiplicarea. Multiplicator * Multiplicator = Lucrare
Ridicarea la puterea lui \ (a ^ b \), unde a este baza puterii și b este exponentul. Dacă baza și exponentul sunt naturale, rezultatul va fi de asemenea un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare alte două operații. Din punct de vedere formal, ele nu sunt operațiuni cu numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toate perechile de numere (câteodată există, uneori nu sunt).

Scadere. Redusă \ (- \) Scăzută = Diferență. Decrementul trebuie să fie mai mare decât subtrahendul (sau egal cu acesta, dacă 0 este considerat a fi un număr natural).
Divizia. Dividendului / divizor = (Amateur, reziduu). Amatori \ (p \) și reziduu \ (r \) prin împărțirea \ (a \) la \ (b \) este definit ca: \ (a = p * b + r \), în plus \ (0 \ leqslant r \) . Rețineți că această ultimă condiție împiedică diviziunea de la zero, deoarece în caz contrar \ (a \) poate fi reprezentat sub forma \ (a = p * 0 + a \), este posibil să fie considerat \ privat (0 \), iar restul = \ (a \).

Trebuie remarcat faptul că operațiile adunării și multiplicării sunt fundamentale. În special, inelul de întregi este definit precis prin operațiile binare de adăugare și multiplicare.

Definirea definițiilor teoretice [edit]

Utilizăm definiția numerelor naturale ca clase de echivalență a seturilor finite. Denumim clasa de echivalență a lui A în ceea ce privește bijecțiile ca [A]. Apoi operațiile aritmetice de bază sunt definite după cum urmează:

unde \ (A \ sqcup B \) este uniunea disjunctivă a seturilor. \ (A \ ori B \) este un produs direct. \ (A ^ B \) este setul de mapări de la B la A. Se poate arăta că operațiile rezultate pe clase sunt introduse corect, adică ele nu depind de alegerea elementelor de clasă și coincid cu definițiile inductive.

Proprietăți de bază [editați]

Comutativitatea adăugării. \ (\, \! a + b = b + a \)
Comutativitatea multiplicării. \ (\, \! ab = ba \)
Asociativitatea adăugării. \ (\, \! (a + b) + c = a + (b + c) \)
Asociativitatea multiplicării. \ (\, \! (ab) c = a (bc) \)
Distributivitatea multiplicării în ceea ce privește adăugarea. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Structura algebrică [editați]

Adăugarea unei multitudini de spire în semigrupul de numere întregi pozitive cu unitatea, unitatea îndeplinește rolul 0. Multiplicare transformă, de asemenea, setul de numere naturale într-un semigrup cu identitate, elementul de identitate este 1. În ceea ce privește operațiunile de circuit de adunare, scădere și înmulțire, împărțind grupul obținut de întregi \ (\ mathbb Z \) și numere pozitive raționale \ (\ mathbb Q ^ * _ + \), respectiv.

Numere naturale în limba rusă [edita]

Numerele de la 1 la 10 sunt una (1), două (2), trei (3), patru (4), cinci (5), șase (6), șapte (7) , zece (10).

Numbers 11 la 20 - unsprezece (11), doisprezece (12), treisprezece (13), paisprezece (14), cincisprezece (15), șaisprezece (16) și șaptesprezece (17), optsprezece (18), nouăsprezece (19) , douăzeci (20).

Numerele de la 30 la 90 sunt treizeci (30), patruzeci (40), cincizeci (50), șaizeci (60), șaptezeci (70), optzeci (80), nouăzeci (90).

Numerele de la 100 la 900 - o sută (100), două sute (200), trei sute (300) și patru sute (400), cinci sute (500), șase sute (600), șapte sute (700), opt (800), nouă (900) .

Numerele mari sunt o mie. milioane. miliarde. trilioane de dolari.

Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare