Găsiți funcția de satisfacție. ecuație
Din punct de vedere fizic, este necesar să se găsească distribuția temperaturii într-o tijă de lungime l. la momentul inițial. iar la capete temperatura zero
În locul ecuației conductivității termice, se obțin două ecuații diferențiale obișnuite;
Pentru a obține o soluție netrivială care satisface condițiile limită omogene, este necesar să găsim soluții netriviale ale ecuației:
. satisfacerea condițiilor limită
Ca și în soluția problemei valorii omogene a limitei pentru ecuația valurilor, se poate arăta că ...
pentru
Există o soluție netrivială n = 1,2,3
Postan. sarcinile navigatorului?
Pentru soluția T obținem:
Apoi funcțiile sunt funcțiile proprii ale problemei originale a valorii limită corespunzătoare valorilor proprii
și este o soluție corespunzătoare a problemei inițiale a valorii limită; formează o serie formală:
. cerând această satisfacție. condiții inițiale
Este coeficientul de extindere a funcției într-o serie Fourier în raport cu păcatul în intervalul de la 0 la n.
Să presupunem că există o diferențiere de două ori continuă. pe funcție
. atunci o serie de soluții generale se vor converti și funcțiile vor fi absolut și uniform, deoarece:
Prin urmare, suma acestei serii va fi continuă în domeniu. și îndeplinește în această regiune condițiile inițiale și limită.
Considerăm problema generală de valoare-limită
Pentru a rezolva această problemă, vom căuta o soluție în forma:
Apoi, funcția va fi o soluție a următoarei probleme de limită-valoare:
- o nouă condiție inițială a funcției
Astfel, funcția satisface ecuația:
În consecință, problema inițială a fost simplificată și redusă la găsirea funcției
Din următoarea problemă privind valoarea limită
Îl împărțim în două sarcini:
Rezolvăm problema găsirii unei funcții. căutăm o soluție în forma:
Extindem funcția într-o serie Fourier cu privire la păcat pe:
Înlocuirea reprezentărilor primite:
Echocând coeficientul corespunzător pentru păcatul identic, obținem un număr infinit de ecuații
Soluția unei astfel de probleme, așa cum sa arătat în soluția problemei valurilor mixte, poate fi reprezentată ca o convoluție a următoarei funcții
înlocuim soluția găsită în reprezentarea funcției.
soluționarea celei de-a doua probleme.
Soluția problemei pentru
Articole similare
-
Problema Cauchy pentru ecuația căldurii este soluția de probleme, de control
-
Sarcini privind genetica, lucrări gratuite de curs, eseuri și teze
-
Determinarea naturii cerealelor, curs liber, rezumate și teze
Trimiteți-le prietenilor: