Este adesea mai rațională investigarea funcției pe un extremum cu ajutorul celui de-al doilea derivat. Să luăm în considerare esența acestei metode.
Semnul primei derivate a unei funcții date caracterizează creșterea și scăderea funcției. În mod similar, semnul celui de-al doilea derivat caracterizează creșterea și scăderea primului derivat.
Acum vom afla cum se schimbă primul derivat la punctele extreme și punctele apropiate acestora cu argumentul tot mai mare. Primul derivat își modifică semnul de la "+" la "-" atunci când trece prin punctul maxim. Cu alte cuvinte, trece de la valori pozitive la zero până la cele negative, adică scade, deci derivatul său trebuie să fie negativ. Astfel, la punctul maxim al unei funcții date primul derivat este zero, iar al doilea derivat este negativ.
În mod similar, se poate arăta că la punctul minim al funcției primul derivat este zero, iar al doilea este negativ.
De aici urmează regula pentru studierea funcției pe extremum cu ajutorul celui de-al doilea derivat.
În al doilea derivat înlocuiți toate valorile critice la rândul lor
dacă acesta este un punct maxim,
dacă este necesar să se facă referire la prima regulă.
Calculați valorile funcției în punctele extreme și compilați grafic grafic.
EXEMPLU EXEMPLU. Investigați funcția ca un extremum conform celei de-a doua reguli
Soluția. 1. Noi găsim primul derivat
2. Să găsim punctele critice
3. Să găsim al doilea derivat
4. Definim semnul celui de-al doilea derivat la fiecare punct critic.
. înseamnă - un punct de maxim,
, înseamnă - punctul minim,
5. Să calculam valorile funcției în punctele extreme.
Întrebări pentru auto-examinare
1. Ce se numește punctul maxim al funcției? Ilustrați în figură.
2. Care este punctul minim al unei funcții? Arată cum arată în imagine.
3. Care este valoarea maximă și minimă a funcției?
4. Formulează condițiile necesare și suficiente pentru existența punctelor extreme.
5. Afișează ordinea de a găsi punctele extreme în ceea ce privește primul derivat.
6. Cum să studiem funcția pe extremum cu privire la al doilea derivat?
1. Investigați funcțiile pentru punctele de monotonie și extremum. Construiți un grafic.
2. Investigați funcția la extrema celei de-a doua reguli.
Sarcini pentru decizia independentă
1. Investigați funcția pentru punctele de monotonie și extremum prin prima regulă.
2. Investigați funcția la extrema celei de-a doua reguli.
APLICAREA FUNCȚIEI DERIVATIVE CERCETĂRII
ON MONOTONITY AND EXTREMUMS
1. Investigați funcția pentru puncte de monotonie și extremum.
Trimiteți-le prietenilor: