Să presupunem că funcția f (x) în fiecare interval [-l, l], unde l - orice număr de porțiuni - netede sau porțiuni - plus monotonă, f (x) - absolut funcția integrabile, adică, integritatea necorespunzătoare
Apoi funcția f (x) poate fi extinsă într-o serie Fourier:
Dacă înlocuim coeficienții în formula pentru f (x), obținem:
Trecerea la limita pentru l ¥. se poate arăta că u
Pentru L ¥ Dun ®0.
Se poate demonstra că limita sumei din partea dreaptă a ecuației este egală cu integrala
Apoi este dublul integral Fourier.
- reprezentarea funcției f (x) de integralele Fourier.
1. Dacă funcția f (x) este uniformă, atunci formula Fourier ia forma;
Dacă funcția f (x) este impare, atunci formula Fourier ia forma.
2. Dacă funcția f (x) este dată doar pe interval. atunci acesta poate fi extins la interval în mai multe moduri, în special - într-un mod uniform și ciudat.
3. Formula Fourier poate fi reprezentată într-o formă simetrică de scriere, dacă presupunem asta. În cazul unei funcții uniforme :; în cazul unei funcții ciudate :.
Funcțiile sunt denumite transformarea cosinus și transformarea Fourier sinusoidală pentru funcția f (x), respectiv.
4. Integralul Fourier dublu pentru funcția f (x) poate fi reprezentat într-o formă complexă:
Definiția. Dacă f (x) este orice funcție care este absolut integrabilă pe întreaga axă numerică, continuă sau având un număr finit de puncte de discontinuitate de primul tip pe fiecare interval, atunci funcția
se numește transformarea Fourier a lui f (x).
Funcția F (u) este numită și caracteristica spectrală a funcției f (x).
Dacă f (x) este o funcție reprezentată de integralele Fourier, atunci putem scrie:
Această ecuație se numește transformarea inversă Fourier
Un exemplu. Reprezintă funcția integrală Fourier.
Funcția satisface condițiile de reprezentabilitate prin integrarea Fourier, care este absolut integrabilă pe interval. . Funcția este ciudată, ia formula :. În consecință ,.
Trimiteți-le prietenilor: