Înainte de a începe să lucrați cu acest subiect, vă sfătuiesc să vă uitați la secțiunea cu terminologie pentru seriile numerice. Mai ales merită să acordăm atenție noțiunii de membru comun al seriei. Dacă aveți îndoieli cu privire la corectitudinea alegerii semnului de convergență, vă sfătuiesc să examinați subiectul "Alegerea criteriului de convergență a seriei numerice".
Atributul D'Alembert (sau testul d'Alembert) este utilizat pentru a investiga convergența seriilor al căror termen comun este strict mai mare decât zero; $ u_n> 0 $. Astfel de serii sunt numite strict pozitive. În exemplele standard, atributul D'Alembert este utilizat în forma limitatoare.
Semnul lui D'Alembert (în forma limitativă)
Dacă seria $ \ sum \ limits_ ^ u_n $ este strict pozitivă și $$ \ lim_ \ frac> = L, $$ atunci pentru $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (și pentru $ L = \ infty $) seria se diferențiază.
Formularea este destul de simplă, dar următoarea întrebare rămâne deschisă: ce se întâmplă dacă $ L = 1 $? D'Alembert nu este capabil să răspundă la această întrebare. Dacă $ L = 1 $, atunci seria poate fie să converge, fie să devină divergentă.
Cel mai adesea în test raportul Exemplele de referință se aplică, în cazul în care numărul total de membri termeni prezenți polinom $ n $ (polinom poate fi o rădăcină) și gradul de forma $ a ^ n $ sau n $! $. De exemplu, $ u_n = \ frac $ (vezi. Exemplu №1) sau $ u_n = \ frac> $ (vezi. Exemplul №2). În general, de exemplu, prezența standard $ n $ - este un fel de „carte de asteptare“ test de raport.
Recordul "n!" (citiți "en factorial") înseamnă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n, adică
$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ n cdot $$
Prin definiție, se presupune că $ 0! = 1! = 1 $. Pentru un exemplu, găsiți 5.
$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$
În plus, atributul lui D'Alembert este adesea folosit pentru a clarifica convergența unei serii a cărei termen comun conține produsul unei astfel de structuri: $ u_n = \ frac $.
Deoarece limita inferioară de însumare este 1, termenul general al seriei este scris sub semnul de însumare: $ u_n = \ frac $. Deoarece pentru $ n≥ 1 $ avem $ 3n + 7> 0 $, $ 5 ^ n> 0 $ și $ 2n ^ 3-1> 0 $, apoi $ u_n> 0 $. În consecință, seriile noastre sunt strict pozitive.
Este oarecum dificil să verifici îndeplinirea condiției de convergență necesară, deci să ignorăm acest test.
Ce putem spune despre termenul general al serialului? Conține polinoamele $ 3n + $ 7, $ 2n ^ 3-1 $ și $ 5 grade ^ n $. Acest lucru sugerează imediat utilizarea semnului lui D'Alembert.
Pentru a aplica acest atribut, va trebui să găsim limita raportului $ \ frac> $. Avem termenul general al seriei, aici este: $ u_n = \ frac $. Se scrie formula pentru $ u_ $ separat. Pentru a scrie $ u_n $, trebuie să înlocuim $ n + 1 $ în formula $ u_n = \ frac $ în loc de $ n $:
Dacă se dorește, numitorul poate fi scris fără paranteze, deoarece $ 2 (n + 1) ^ 3-1 = 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 6n + 1 $, dar acest lucru nu este necesar. Deci, hai să găsim ce valoare a $ \ lim_ \ frac> $ este egală cu. În simplificarea expresiei rezultate, luăm în considerare faptul că $ \ frac> = 5 ^ = 5 ^ 1 = 5 $.
Pentru a calcula limita care rezultă, trebuie să împărțim atât numerotatorul, cât și numitorul cu $ n ^ 4 $ (vezi exemplul # 1 din această pagină):
Sincer, semnul lui D'Alembert nu este singura opțiune în această situație. Se poate folosi, de exemplu, testul radical Cauchy. Cu toate acestea, folosirea criteriului Cauchy radical necesită cunoașterea (sau dovada) formulelor suplimentare. Prin urmare, utilizarea semnului lui D'Alembert în această situație este mai convenabilă.
Răspuns. seria diverge.
Investigați seria $ \ sum \ limits _ ^ \ frac> $ pentru convergență.
Deoarece limita inferioară de însumare este 1, termenul general al seriei este scris sub semnul de însumare: $ u_n = \ frac> $. Seria dată este strict pozitivă, adică $ u_n> 0 $.
Termenul general al seriei conține un polinom sub rădăcină, adică $ \ sqrt $, și factorul $ (3n-2)! $. Prezența factorialului în exemplul standard reprezintă aproape o sută la sută garanție a utilizării atributului D'Alembert.
Pentru a aplica acest atribut, va trebui să găsim limita raportului $ \ frac> $. Pentru a scrie $ u_ $, trebuie să înlocuim $ n + 1 $ în formula $ u_n = \ frac> $ în loc de $ n $:
! Deoarece $ (3n + 1) = (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $, atunci formula pentru $ u_ $ pot fi scrise într-un mod diferit:
Această înregistrare este convenabilă pentru soluții ulterioare, când trebuie să reducem fracțiunea sub limită. Dacă egalitatea cu factoriali necesită explicații, deschideți nota de mai jos.
Cum am obținut egalitatea $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $? arată / ascunde
Notatia $ (3n + 1)! $ Inseamna produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la 3n + 1 $. Ie această expresie poate fi scrisă ca:
Imediat înainte de numărul $ 3n + 1 $ există un număr mai mic, adică numărul 3n + 1-1 = 3n $. Și imediat înainte de numărul $ 3n $ este numărul de $ 3n-1 $. Ei bine, chiar înainte de $ numere numărul $ 3n-1 au $-3n 1-1 = 3n-2 $. Respingem formula pentru $ (3n + 1)! $:
$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$
Care este produsul de $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $? Acest produs este egal cu $ (3n-2)! $. În consecință, expresia pentru $ (3n + 1)! $ Poate fi rescrisă în această formă:
(3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1)
Această înregistrare este convenabilă pentru soluții ulterioare, când trebuie să reducem fracțiunea sub limită.
Răspuns. seria converge.
Investigați seria $ \ sum \ limits _ ^ \ frac> $ pentru convergență.
Deoarece limita inferioară de însumare este 1, termenul general al seriei este scris sub semnul de însumare: $ u_n = \ frac> $. Seria dată este strict pozitivă; $ u_n> 0 $.
Termenul general al seriei conține atât factorul $ (2n + 5)!, Cât și gradul $ 4 ^ $. Aplicăm testul lui D'Alembert.
Avem nevoie de $ u_ $. Substituind în formula $ u_n = \ frac> $ in loc de $ n $ expresie $ n + 1 $, avem:
Se calculează valoarea de $ \ lim_ \ Frac> $. Odată cu reducerea să ne ținem cont de faptul că $ (2n + 7)! = (2n + 5)! (2n + 6) (2n + 7) $ (cm. Notă în exemplul anterior №2) și $ \ Frac >> = 4 ^ = 4 ^ = \ frac = \ frac $.
Răspuns. seria diverge.
Continuarea subiectului de investigare a convergenței seriei cu ajutorul testului D'Alembert este examinată în partea a doua și a treia.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: