Concepte și definiții de bază
Liniile curbate sunt utilizate pe scară largă în arhitectură și construcții. Prin linii curbe delimitate forme de spațiu-timp personal - .. Arches, etc. curburi-a schimbat pentru a forma o suprafață-stey diverse arhitecturale site-uri ING si construirea de structuri - acoperiri ca piei, cupole și cupole, pan-dusov și scări spiralate. În procesul de proiectare arhitecturală, liniile curbe ca element al unei varietăți de forme curbilinare apar destul de des. Liniile curbate pot fi rezultatul intersecției suprafețelor, ele pot fi contururile marginilor compartimentelor de suprafață - cochilii sau contururile vizibile și conturul suprafețelor etc.
Liniile curbe în geometria descriptivă sunt considerate ca un set continuu de poziții succesive ale unui punct în mișcare și, de asemenea, ca o linie de intersecție a suprafețelor. Dacă toate punctele curbei se află în același plan, atunci se spune că o astfel de curbă este netedă. Un exemplu este un cerc, o elipsă, o parabolă. Dacă curba nu se află în toate punctele ei în plan, atunci se numește linii elicoidale spațiale, de exemplu. Liniile curbe sunt subdivizate prin alte criterii. Curba poate fi descrisă (pelviană-on) analitic, t. E. Ecuația (Al-algebric sau transcendental), de exemplu, elipse, parabole, etc .. Dacă formarea nu are curba strictă regularitate, este dat grafic-ically, de exemplu orizontal pe planul zone.
Gradul ecuației care exprimă o curbă algebrică determină ordinea curbei. Din punct de vedere geometric, ordinea curbei plane este determinată de numărul de puncte ale intersecției sale printr-o linie dreaptă (atât puncte reale cât și imaginare). Ordinea curbei spațiale este determinată de numărul de puncte de intersecție a curbei cu planul.
În geometria descriptivă, curbele sunt studiate din proiecțiile lor.
Proprietățile proiecțiilor curbei: I) în cazul general al proiecției curbei liniei sunt și linii curbe; 2) Dacă punctul aparține unei curbe a unei linii, proiecțiile sale aparțin proiecțiilor de aceeași curbă; 3) tangenta la curba liniei este proiectată tangențial la proiecția acestei curbe dacă direcția de proiecție nu este paralelă cu tangenta.
Cele mai frecvente sunt liniile curbate plate. Pentru a studia proprietățile locale ale unei curbe plane, o tangentă și o normală sunt construite la un moment dat.
O tangenta la o curba a avionului intr-un anumit punct al ei este pozitia limita a secantului, cand doua puncte care sunt comune curbei, tinzandu-se unul pe celalalt, coincid (figura 70, a). Tangenta determină direcția de mișcare a punctului de-a lungul curbei.
O normală este o linie care se află în planul curbei și perpendiculară pe tangenta în punctul de tangență.
Când se rezolvă anumite probleme, este necesar să se tragă o tangență la curbă. În Fig. 70, b prezintă metoda de construire a unei tangente la o curbă dintr-un punct în afara curbei folosind "curba de eroare". Aplicarea acestei tehnici se bazează pe poziția că la punctul dorit sau dat de tangență M lungimea coardei curbei este zero. Este necesar să tragem prin punctul A o tangentă t la o curbă de formă aleatorie. În acest scop, tragem prin A un creion de linii ce intersectează curba. Semi-chennye corzi sunt împărțite în jumătate. O curbă netedă trasă prin midpoints ("curba de eroare"), la intersecția cu curba dată, determină punctul de contact dorit M.
Proprietățile punctelor curbe. Punctul curbei în care se poate trasa o singură tangentă se numește netedă. O curbă constând numai din puncte netede se numește o curbă netedă. Un punct curbat se numește obișnuit dacă mișcarea unui punct de-a lungul unei curbe nu schimbă direcția mișcării sale și direcția de rotație a tangentei. Punctele care nu îndeplinesc aceste cerințe sunt numite puncte speciale.
În Fig. 71 prezintă punctele singulare ale curbei: punctul de inflexiune A - tangenta intersectează curba; punctul de întoarcere al primului tip B; punctul de întoarcere al celui de-al doilea tip de C; punctul de rupere D - curba în acest punct are două tangente.
Conceptul curburii unei curbe plane. Atunci când se investighează proprietățile unei curbe, este necesar să se cunoască curbura în punctele sale individuale. Direcția curbei variază de la un punct la altul. Cu cât direcția curbei se modifică mai mult, cu atât este mai mare curbura. În Fig. 70 și curbura la punctul A este mai mare decât curbura la punctul A1. De exemplu, curbura unei linii drepte la toate punctele sale este egală cu zero, iar curbura cercului pentru toate punctele sale este constantă. Curbura celorlalte curbe la fiecare punct este diferită. Aceasta este determinată de circumferința cercului în acest moment.
Un cerc învecinat este poziția limită a unui cerc atunci când trece printr-un punct dat și alte două puncte care sunt infinit de aproape de el. Centrul și raza cercului contiguu determină centrul și raza curburii curbei în punctul dat.
Curbura (K) a curbei plane la un anumit punct este reciprocă a razei cercului contiguat (K = 1 / r). În punctul luat în considerare, curba și cercul învecinat au o comună tangentă și normală. În Fig. 72 prezintă construcția centrului și raza de curbură a curbei liniei BC la un punct dat A. Pe curba de pe ambele părți ale punctului dat, mai multe puncte sunt marcate, iar punctele semitangente sunt trase din ele și din punctul A. Pe sexul tangentelor se găsesc segmentele arbitrare, dar egale, iar prin punctele rezultate se trasează o curbă. Punctul A al curbei date corespunde punctului A1 al curbei construite. În intersecția normalelor trase la punctele A și A1, obținem punctul O - centrul curburii și raza de curbură rA în punctul A (centrul și raza cercului contiguat).
Proiecții ale curbelor plane. Unele curbe de ordin secundar - o elipsă, o parabolă și o hiperbola, au semnificație practică importantă.
O elipse (o curbă închisă cu două axe de simetrie și centru) este un loc geometric de puncte, suma distanțelor de la fiecare la două puncte date (foci) este o valoare constantă (figura 73. a). El-Lips poate fi construit din puncte pe baza definiției sale. Din punctul C al razei a, se trage un arc care intersectează axa majoră a elipsei la punctele F1 și F2 - focare. Apoi arce de cercuri cu raze r și 2a-r sunt extrase din focare. Punctele de intersecție ale arcurilor aparțin curbei elipsei.
O parabolă (o curbă închisă cu o singură axă de simetrie) reprezintă locusul geometric al punctelor echidistant de la un punct dat (focalizare) și o linie dreaptă (figura 73, b). O parabolă poate fi construită din puncte pe baza definiției sale dacă focalizarea este F și direct ON este directrix. Vârful A al parabolei împarte distanța dintre focalizare și regizor în jumătate.
Hiperbolă (curba format din două ramuri, cu două axe de simetrie și centrul) este o geometrie-parametru locusului, diferența de distanță Yany care este constantă până la două puncte de date (focare) (Fig. 73 c). Două linii drepte care trec prin centrul O și tangentează la hiperbola în punctele de infinit sunt numite asimptote ale hiperboliei. Asimptotele sunt direcționate de-a lungul diagonalelor dreptunghiului cu laturile 2a și 2b. Hyperball, precum și parabola, pot fi construite pe puncte.
Cercul este curba cea mai răspândită, când este paralelizată, ea este transformată într-o elipsă (Figura 74). Circumscrierea cerc-pătrat proiectat paralelipipedice STI-hologramele și un cerc - elipsei, ca coarda elipsă paralelă cu od-Term de diametre conjugate (ab), sunt împărțite în diametru diferit (cd) popo-lam. Paralele ale paralelogramului sunt tangente la elipsă la capetele diametrelor conjugate.
Construcția unei elipse în plus față de metoda prezentată în Fig. 73, a, sunt deseori efectuate pe opt puncte (Figura 75): cele patru puncte (1,2,3,4) sunt capetele diametrelor conjugate iar cele patru puncte (5, 6, 7, 8) sunt intersecțiile curbei elipsă cu paralelogram diagonal. Aceste puncte sunt determinate în modul următor. În orice jumătate din planul paralelogramului, se construiește un triunghi echilateral.
O rază egală cu triunghiul triunghi-cat este marcată de punctele a și b de pe o latură dată a paralelogramului și apoi sunt trase linii drepte paralele cu celelalte laturi până când se intersectează cu diagonalele paralelogramului.
La construirea elipsele ca pas-paralele și centrale de proiecție-tiile circumferință este determinată de important, pentru a turna axele majore și minore elipsă care sunt axe de simetrie a figurii și lăsată să verifice acuratețea construcțiilor grafice. În Fig. 76 prezintă o metodă de construire a axelor unei elipse din diametrele conjugate 1 la 2 și 3 până la 4. Una dintre jumătățile de diametru, de exemplu, O-1. ne întoarcem într-o poziție perpendiculară pe acest diametru. Prin punctele 10 și 4 vom efectua o linie dreaptă și din mijlocul segmentului 10-4 vom descrie un arc cu raza OS. Linia dreaptă 10-4 intersectează arcul cercului în punctele E și F (segmentul EF determină suma semicelor elipsei). Liniile drepte OE și OF indică direcția micului CD și marile axe AV ale elipsei.
Domenii de aplicare a curbelor. Curbele normale plate, cum ar fi circumferința și arcurile, elipsa, parabola, sunt utilizate pe scară largă în arhitectură. O altă curbă a avionului, care uneori trebuie construită în proiectarea suprafețelor de învelișuri de acoperire (cablu), este o linie de lanț.
Linia lanțului este o curbă a cărei formă este presupusă de gravitație a fi un fir uniform, flexibil, inextensibil, cu capete fixe. Pentru a construi curba (figura 77), definim cercul inițial cu centrul în punctul C și în unele puncte M1. Cu cât CM1 este mai mare, cu atât este mai mică curba.
Valoarea încovoierii liniei lanțului poate fi exprimată și prin raportul diametrului cercului inițial d cu săgeata de încovoiere h. Raportul d / h este mai mare, brațul de înclinare este mai mic. Linia dreaptă orizontală OM1 este împărțită în mai multe segmente identice. Pe o linie dreaptă care leagă centrul C cu punctul M1, pe distanța d din punctul M1 reconstruim perpendicularul. Punctul de intersecție M al perpendicularului cu linia verticală este punctul dorit. Construcția altor puncte este evidentă din desen. Forma curbei seamănă cu o parabolă. În punctul A, care se numește vârful curbei, linia tangentă este orizontală. Poate Nachi construcție nat curba în sens invers într-un rând, având în vedere un prim puncte, M, K și fixarea firului vertex A. Curba trasată prin depozitele puncte de bază ale perpendicularele numite track-Tris, sau trase de (prezentată în partea stângă a liniei punctate axa OY ). Linia lanțului este evoluția traktrisului, adică locul geometric al centrelor de curbură. Linia de lanț ca o linie rațională, care reflectă proprietățile de rezistență egală a materialului, poate fi utilizată în proiectarea diferitelor forme arhitecturale.
În Fig. 78, a arată construcția formei cupolei. Curba eseului ei este o combinație a două curbe care reflectă diferitele condiții ale materialului (linia O-2 se întinde, linia 2 este 1 -3 compresie). Ultima secțiune exprima linia de rezistență egală - conturul unei benzi flexibile, izo-strâmbe.
Luați în considerare construcția grafică a liniei de bandă curbate (figura 78, b). Pe legătura de comunicație directă este selectat terminalul O punct și vârful A al curbei. Desenați un cerc al cărui centru se află pe linia OA. Un număr de linii drepte perpendiculare pe acesta sunt desenate pe segmentul AB. Din punctul B se realizează grinzi la punctele de intersecție de linii paralele cu o -c de cerc (punctele 10, 20, 30, 40), iar din punctul O se efectuează raze paralele cu fascicule de primul minut snop corespunzător, de asemenea, paralel intersecția cu drept-TION. Se obține punctele dorite 1, 2, 3, 4. Valoarea parametrului cu un diametru relativ al cercului determină gradul de îndoire, în cazul în care acesta este redus - îndoire crește.
Arhitecții din trecut, folosind o rake curbată, au determinat și apoi au analizat entasul - o ușoară umflare a tulpinii coloanei.
În arhitectură și construcții se aplică și așa-numitele curbe compuse. În Fig. 79 prezintă construcția curbei cutiei de contur a bolții goale. Curba este definită de deschiderea AB și de creșterea acoperișului și constă din trei arce de cercuri. Punctele de conjugare a arcurilor D și E și a centrelor arcelor 1, 3 și 2 sunt definite după cum urmează. Pe diagonala AS se construiește diferența semiaxelor - de la AM ascuțit. Prin mijlocul acestui segment, trageți o linie dreaptă la intersecția cu axele curbei la punctele 1, 2 și 3. Punctele D și E ale conjugării arcurilor sunt puncte netede. Cu toate acestea, în aceste puncte, razele curburii curbei se modifică brusc, de exemplu la punctul D, există două raze egale cu D-1 și D-2. Curba este netedă dar nu netedă.
Astfel, următoarele cerințe trebuie impuse unei curbe netede: continuitatea și existența în fiecare punct al unei tangente și o rază de curbură.
Mai multe lucrări pe matematică
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: