Este evident că, sau
Acum redenumim formula pentru multiplicarea scalară luând în considerare notația introdusă:
, și în forma index:
Această formulă pentru produsul scalar este generală. Este valabil pentru un sistem arbitrar de coordonate oblic. În sistemul cartezian, matricea coordonatelor tensorului metric coincide cu matricea identității.
De fapt, pentru un sistem cartezian
, și, prin urmare, u
Tensorul metric este un set de coeficienți legați de un anumit sistem de coordonate. Dacă ne mutăm la un alt sistem, atunci în cazul general vom avea alți coeficienți ai tensorului metric, care de obicei sunt numiți coordonate. Coordonatele tensorului metric depind de sistemul de coordonate ales și sunt exprimate direct în termeni de vectori de bază. Cu toate acestea, tensorul metric, precum și vectorul, reflectă o realitate geometrică bine definită, deoarece coordonatele sale în diferite sisteme de coordonate sunt legate de legea de transformare cunoscută.
Să găsim legea transformării coordonatelor tensorului metric.
și este legea necesară pentru transformarea coordonatelor tensorului metric în formele index și matrice. Am încadrat această lege într-un cadru, deoarece în algebra tensorală joacă un rol fundamental și ne-a întâlnit pentru prima dată. În viitor, vom putea verifica faptul că această lege se manifestă în studiul unei game largi de obiecte. În primul rând, ar trebui să acordăm atenție asemănării sale fundamentale cu legea transformării coordonatelor vectoriale:
Legea transformării coordonatelor unui vector
Trimiteți-le prietenilor: