Literatură: Colectarea problemelor în matematică. Partea 1. Editat de AV Efimov, BP Demidovich.
Un derivat de ordinul doi al funcției $ y = f (x) $ este derivatul primului său derivat, adică, $ y '' (x) = (y '(x))'.
Un derivat al ordinului $ n-a (sau derivatul $ n-a) este denumit derivat al derivatului ordinului $ n-1-a, adică, $ y ^ (x) = \ left (y ^ (x) \ right) ', \ qquad n = 2, 3. $$ Comanda derivat $ n- $ th este notată cu $ \ frac.
Fie $ u (x) $ și $ v (x) $ derivate până la și inclusiv $ n $. Atunci formula Leibniz $$ (uv) ^ = u ^ v + nu ^ v '+ \ fracu ^ v' '+ este valabilă pentru derivatul ordinului $ n al produsului lor $ u (x) v (x) $. + uv ^ = \ suma \ limits_ ^ nC_ ^ ku ^ v ^, $$ unde $ u ^ = u, \, \, v ^ = v $ și $ C_n ^ k = \ frac = \ frac - $ coeficienții binomiali prin definiția de $ 0! = 1 $)
Găsiți derivate de ordin secundar pentru următoarele funcții:
$ y '= (\ cos ^ 2) = 2 \ cos x (\ cos x)' = - 2 cos x \ sin x =
$ y '' = (- \ sin 2x) '= - \ cos 2x (2x)' = - 2 \ cos 2x $
Fie $ u (x) $ și $ v (x) două funcții diferențiate. Găsiți $ y ', \, \, y' '$ dacă:
Găsiți formula pentru derivatul $ n-$ th din funcțiile date:
5.206. Extinderea într-o combinație liniară de funcții mai simple, găsiți derivatul $ y ^ $ al funcției $ y = \ frac. $
Se descompune fracțiunea $ \ frac $ în fracțiuni elementare:
Astfel, $ x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2)
Ecuați coeficienții pentru termeni similari:
Aplicând formula Leibniz, găsiți derivații acestor comenzi din funcțiile date:
Prin formula Leibniz obținem:
Din problema 5.201 scriem derivatele sinusurilor: $ sin = x sin (x + 15 \ pi / 2) = \ sin (x + 3 \ pi / 2 + 6 \ pi) / 2) = - \ cos x; $$
Astfel, găsim:
5.224. Găsiți derivatul secundar al unei funcții date implicit $ y = 1 + xe ^ y. $
Introducem funcția $ F (x, y): $
Să găsim primul derivat:
Apoi, căutăm al doilea derivat și înlocuim funcția găsită pentru $ y '$:
Trimiteți-le prietenilor: