Problemă 47. În unitate există 10 împușcături, 3 dintre ele excelente, 5 bune și 2 mediocre. Se știe că probabilitatea de a lovi țintă cu un shooter excelent - 0,9, bun - 0,8 și tragere satisfăcătoare - 0,6. Din sistem la întâmplare, un shooter este chemat să producă o lovitură la țintă. Care este probabilitatea de a atinge ținta cu acest shooter?
Lăsați evenimentul A - shooter-ul să atingă ținta. Ipoteze: H1 - excelent sportiv; H2 - shooter-ul este bun; H3 - shooter-ul mediocru. Probabilitățile acestor ipoteze sunt următoarele :; ; .
Probabilitatea condiționată de înfrângerea țintei în funcție de aceste ipoteze este dată:
Apoi, în funcție de formula probabilității totale, probabilitatea necesară de lovire a țintei va fi egală cu
Soluția. În conformitate cu formulele Bayesiene. probabilitatea ipotezei după testare este egală cu produsul probabilității ipotezei înainte de testare pentru probabilitatea condiționată a evenimentului în conformitate cu această ipoteză împărțită la probabilitatea totală a evenimentului:
În problema noastră, evenimentul A - shooter-ul a lovit ținta; ipoteza H1 - a împușcat un shooter excelent; H2 - un împușcat bun shooter; H3 - a împușcat un shooter mediocru.
Probabilitățile ipoteze a priori [1] (pre-experimentate) sunt cunoscute de noi: P (H1) = 0.3; P (H2) = 0,5; P (H3) = 0,2. Probabilitățile condiționale de lovire a țintei în funcție de aceste ipoteze sunt date: P (A / H1) = 0.9; P (A / H2) = 0,8; P (A / H3) = 0,6. Probabilitatea totală de lovire a țintei P (A) = 0.79.
Apoi probabilitățile posteriori [2] (post-experimentale) ale ipotezelor vor fi egale
Observăm că suma probabilităților ipotezelor după testare este întotdeauna unitate. Pentru exemplul nostru.
Problema 49. Germinarea semințelor acestei plante este de 90%. Găsiți probabilitatea că din cele cinci semințe semănat, vor exista: a) patru; b) cel puțin patru.
Soluția. Folosim formula lui Bernoulli. Dacă există n probe independente, pentru fiecare dintre care probabilitatea apariției evenimentelor A este constantă și egală cu P. și probabilitatea evenimentului opus este Q = 1-P. atunci probabilitatea Pn (m) a faptului că evenimentul A are loc exact de ori T este calculat de la
Unde este numărul de combinații de elemente P de către T.
A) Prin condiția problemei, probabilitatea germinării semințelor P = 0,9; apoi Q = 0,1; în acest caz, P = 5 și Т = 4. Înlocuind aceste date în formula Bernoulli (1), obținem
B) Evenimentul A dorit constă în faptul că din cele cinci semințe semănate, patru sau cinci vor urca. Astfel, P (A) = P5 (4) + P5 (S). Primul termen a fost deja găsit. Pentru a calcula al doilea, aplicăm din nou formula (1):
Problema 50. Probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare din cele 625 de studii este de 0,64. Găsiți probabilitatea ca evenimentul A din aceste teste să apară exact de 415 de ori.
Soluția. Dacă numărul de încercări Π este mare, atunci aplicarea formulei Bernoulli conduce la calcule greoaie. Folosirea acestei formule devine practic imposibilă. În astfel de cazuri, se folosește o formulă aproximativă care exprimă esența teoremei locale Laplace.
În cazul în care probabilitatea unui eveniment A în fiecare dintre studiile independente n este constantă și egală cu P (P este diferit de zero și unu), iar numărul n este suficient de mare, probabilitatea P (t) ca un eveniment A apare ori m (indiferent in aceste studii, în care secvență) se calculează aproximativ prin formula
Există tabele de valori ale funcției J (x) (vezi Tabelul 1 din Anexă).
Pentru X> 5 se presupune că J (x)> 0. Deoarece funcția J (x) este uniformă, atunci J (-x) = J (x). Prin condiția problemei, n = 625, T = 415, P = 0,64. Se găsește Q = 1-0,64 = 036. Determinăm valoarea lui X cu aceste date:
Conform tabelului. 1 se constată că J (1,25) = 0,1826. Înlocuind această valoare în (2), obținem
Problema 51. Printre semințele de secară, 0,04% din buruieni. Care este probabilitatea selecției aleatoare a 5000 de semințe pentru a detecta 5 semințe de buruieni?
Soluția. Utilizarea formulei asimptotice (2) pentru cazul în care probabilitatea P este aproape de zero conduce la o abatere semnificativă față de valoarea exactă a lui Pn (m). Pentru valorile mici ale lui P (și pentru valorile mici ale Q), folosim formula asimmtotică Poisson.
Dacă probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare din studiile independente n este mică și numărul de încercări n este suficient de mare, atunci probabilitatea ca evenimentul A să se producă T ori este calculat aproximativ prin formula
Formula (3) este aplicată în acele cazuri când este de 10 £. În acest caz, cu cât este mai mare numărul de interfețe utilizator și cu cât este mai mic numărul de pagini, cu atât rezultatul va fi mai precis prin această formulă. Prin condiția problemei, n = 5000, T = 5, P = 0,0004. Atunci L = 5000,0,0004 = 2. Aplicând (3), obținem
Problema 52. Probabilitatea de a atinge o țintă cu o lovitură separată este de 0,6. Găsiți probabilitatea ca numărul de hit-uri cu 600 de fotografii să fie între 330 și 375.
Soluția. Formula Bernoulli, Poisson, cu formula asimptotic (2), care exprimă esența teoremei locale Laplace ne permit să găsim probabilitatea unui eveniment A exact m ori în studiile independente n. În practică, este adesea necesară pentru a determina probabilitatea ca evenimentul A are loc cel puțin o dată T1 și T2 în timp t. E. Numărul T inegalitatilor Defined T1 £ £ T T2. În astfel de cazuri, se aplică teorema integrală Laplace.
În cazul în care probabilitatea unui eveniment A în fiecare dintre studiile independente n este constant și egal cu F (F este diferit de zero și unu), iar numărul n este suficient de mare, probabilitatea ca un eveniment A în aceste teste nu vine mai mic decât timpul T1 și nu mai mult de ori T2 , se calculează aproximativ prin formula
Există tabele de valori ale funcției (a se vedea tabelul 2 din apendice). Φ (χ) se numește funcția Laplace. Această funcție este ciudată, adică Φ (-χ) = -Φ (χ). Prin urmare, tabelul de valori este dat numai pentru numere pozitive. Funcția Φ (χ) crește în mod monotonic. Cu o creștere neîngrădită a lui X, funcția $ (x) tinde la 0.5. Dacă folosim valorile pregătite pentru funcția Laplace, formula (4) poate fi scrisă după cum urmează:
Conform tabelului 2, găsim Φ (1,25) = 0,3944; Φ (-2,5) = - Φ (2,5) = - 0,4938. Înlocuind aceste valori în (5), obținem probabilitatea necesară:
Problema 53. Variabila aleatoare X este distribuită în conformitate cu legea normală. Asteptarea matematica M (X) = 5; varianța D (X) = 0,64. Găsiți probabilitatea ca, ca rezultat al testului, X să ia o valoare în intervalul (4.7).
Soluția. Dacă variabila aleatoare X este dată de funcția diferențială F (X). atunci probabilitatea ca X să ia o valoare care aparține intervalului (A, B) este calculată prin formula
Dacă valoarea lui X este distribuită conform legii normale, atunci
Unde A = M (X) și. Prin condiția S = 5, A = 4 și B = 7. Înlocuind aceste date în (6), obținem
Problema 54. Se consideră că abaterea lungimii pieselor fabricate din standard este o variabilă aleatoare distribuită conform legii normale. Lungimea standard (așteptare) A = 40 cm, abaterea standard S = 0,4 cm. Găsiți probabilitatea ca abaterea de la lungimea standard va fi valoarea absolută nu mai mare de 0,6 cm.
Soluția. Daca X este lungimea partii, atunci de conditia problemei aceasta valoare ar trebui sa fie in intervalul (A-D, a + D), unde A = 40 si D = 0.6. Substituirea în formula (6) A = a-D și B = a + D. avem
Înlocuind datele disponibile în (7), obținem
Deci, probabilitatea ca lungimea piesei să fie între 39,4 și 40,6 cm este 0,8664.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: