1 °. . Rădăcinile ecuației caracteristice sunt l1, 2, 3 = 1 ..
Vectorii proprii ai lui A prin # 955; = 1, adică core A1:
Imaginea operatorului A1M (A1) poate fi găsită din relațiile:
Apoi: baza este un vector; Un vector care completează baza la o bază va fi oricare dintre vectori. de exemplu, vector; Și nu există nimic care să suplimenteze baza la baza, pentru că .
Apropo: sistemul Alj = (1, 0, 0) nu are soluții, adică Nu există o imagine preimagină a celui de-al doilea strat pentru vectorul (1, 2, -1).
Prin urmare, baza Jordan a operatorului A.
Și, în sfârșit, avem forma Iordaniei a matricei operatorului A.
2 °. Găsiți forma Jordan normală a matricei unui operator liniar A = și o bază în care matricea operatorului are un formular Jordan.
# 916; Pentru matricea operatorului liniar A = compunem și rezolvăm ecuația caracteristică: det (A - 1E) = 0.
Apoi: = 0 și, prin urmare, l1, 2 = -1; l3, 4 = 1.
a) Luați în considerare operatorul A-1 = A-1E = A + E =. Căutăm vectorii proprii ai operatorului A pentru l = -1, adică kernelul operatorului A-1. În acest scop, rezolvăm sistemul a patru ecuații omogene liniare cu matrice A-1. Se poate observa din a treia și a patra ecuație a sistemului. Atunci putem stabili cu ușurință acest lucru. Vectorul f1 (1, 1, 0, 0) este vectorul propriu unic al operatorului A corespunzând valorii proprii l = -1 și formează baza kernelului operatorului A-1. Mai mult, căutăm o bază a imaginii operatorului A-1:
Observând că vectorii f1 și coincid, concluzionăm că acest vector formează baza intersecției imaginii și a kernelului operatorului A-1.
Multiplicitatea radacinii # 955; = -1 este egal cu doi, iar eigenvectorul care corespunde acestei valori proprii este doar unul. Prin urmare, setăm g1 egal cu vectorul. Căutăm un alt vector de bază Jordan ca preimage a primului strat pentru. Rezolvăm sistemul neomogen al ecuațiilor liniare și găsim al doilea vector g2 (1, 3/4, 0, 0) bazei Iordaniei, care corespunde valorii proprii l = -1 cu multiplicitatea doi. Mai mult decât atât, așa cum este tipic, vectorul nu are nicio preimpare a celui de-al doilea strat, deoarece sistemul cu matricea extinsă
nu are soluții. Acest lucru nu este întâmplător, deoarece valoarea proprie l = -1 a multiplicității 2 trebuie să corespundă cu doi vectori bazați pe Iordania operatorului A:
În același timp, menționăm că:
b) Acum ia în considerare valoarea proprie l = 1 și, prin urmare, operatorul A1 = A + E:
Să găsim kernelul acestui operator, adică vectorii proprii ai operatorului A pentru # 955; = 1.
Vectorul f1 (1, 1, 1, 1) formează baza kernelului operatorului A1 și este vectorul propriu unic al operatorului A. care corespunde valorii proprii l = 1.
Deoarece vectorul propriu-zis este doar unul și valoarea proprie are multiplicitatea 2, este necesar să găsim un alt vector de bază Jordan. Prin urmare, presupunem egal g3 y1 vector (1, 1, 1, 1), și un alt vector bază Jordan caută ca prototip al primului strat pentru y1 (1, 1, 1, 1). Pentru a rezolva acest sistem eterogen de ecuații liniare A1g4 = j1 și găsi vectorul G4 (0, 1/2, 0, 1/2) baza Jordan corespunzătoare eigenvalue l = 1 multiplicității doi. În acest caz, y1 vectorul (1, 1, 1, 1), nici o imagine inversa a doilea strat, deoarece sistemul A1y = la matricea G4 îmbunătățită nu are soluții. Din nou, acest lucru nu este intamplatoare, deoarece eigenvalue l = 1 multiplicității 2 trebuie să respecte doi vectori bază Iordania, și au fost deja găsite:
# 916; a) Luați în considerare operatorul A1. A1-E =. Căutăm vectorii proprii ai operatorului A pentru l = 1; kernel-ul operatorului A1.
În continuare căutăm o bază.
Deoarece vectorii f1. F2. f3. f4 sunt liniar independente, atunci. iar vectorii care completează baza la baza sunt vectorii:
Multiplicitatea radacinii # 955; = 1 este egal cu două, prin urmare avem deja doi vectori de bază Iordania A:
b) Luați în considerare operatorul A2 = A -2E. . și găsim kernelul operatorului A2. vectorii proprii ai lui A cu # 955; = 2 .. Vectorul f1 (0, 0, -2, 1), care este soluția acestui sistem, este în același timp baza nucleului.
Apoi, vectorul (0, 0, -2, 1) este vectorul bazei Jordan, iar cel de-al doilea vector este imaginea inversă a vectorului (0, 0, -2, 1), dacă există. Sistemul pentru găsirea lui: A2y = (0, 0, -2, 1).
Rezolvarea sistemului A2y = (0, 0, -2, 1), pentru a găsi imaginea inversă a stratului 1 al vectorului (0, 0, -2, 1).
Soluția sistemului este, de exemplu, vectorul (1, -1, 0, 0).
Pentru operatorul A se găsește baza Jordan :.
Mai mult, adică forma Jordan a operatorului A. ▲.
Articole similare
-
Forme generalizate de infecție postpartum (septicemie, septicopatie) - stadopedie
-
Forme, tipuri și metode de observare statistică - stadopedie
Trimiteți-le prietenilor: