6 Elemente ale teoriei erorilor

6 .1.1. Numerele exacte și aproximative

6.1 .2. Eroare absolută și relativă

6.1.3. Încercați sarcini pe tema "Elemente ale teoriei erorilor"

6.1.1. Numerele exacte și aproximative

Precizia numărului, ca regulă, este incontestabilă atunci când vine vorba de valori de date întregi (2 creioane, 100 de arbori). Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, atunci când este imposibil să se indice valoarea exactă a unui număr (de exemplu, când se măsoară un obiect cu o riglă, se elimină rezultatele unui instrument etc.), avem de-a face cu date aproximative.







O valoare aproximativă este un număr care diferă ușor de valoarea exactă și îl înlocuiește în calcule. Gradul de diferență dintre valoarea aproximativă a unui număr și valoarea sa exactă se caracterizează printr-o eroare.

Există următoarele surse principale de eroare:

  1. Erorile în formularea problemei. Rezultatul este o descriere aproximativă a fenomenului real în termeni de matematică.

  2. Erori de metodă. asociată cu dificultatea sau incapacitatea de a rezolva sarcina și de ao înlocui cu una similară, astfel încât să se poată aplica o metodă cunoscută și accesibilă de soluționare și să se obțină un rezultat apropiat de cel dorit.

  3. Erori nerecuperabile. legate de valorile aproximative ale datelor inițiale și cauzate de efectuarea calculelor pe numerele aproximative.

  4. Erori de rotunjire. legate de rotunjirea valorilor datelor inițiale, a rezultatelor intermediare și finale obținute prin mijloace computaționale.

6.1.2. Eroare absolută și relativă

Contabilitatea erorilor este un aspect important al aplicării metodelor numerice, deoarece eroarea în rezultatul final al rezolvării întregii probleme este rezultatul interacțiunii dintre toate tipurile de erori. Prin urmare, una dintre principalele probleme ale teoriei erorilor este estimarea corectitudinii rezultatului bazat pe acuratețea datelor inițiale.

Dacă numărul exact și valoarea sa aproximativă, atunci eroarea (eroarea) valorii aproximative este gradul de apropiere a valorii sale de valoarea sa exactă.

Cea mai simplă măsură cantitativă de eroare este eroarea absolută, care este definită ca fiind
(6.1.2-1)
După cum se poate observa din formula 6.1.2-1, eroarea absolută are aceleași unități de măsură ca și valoarea. Prin urmare, din magnitudinea erorii absolute, nu este întotdeauna posibil să se tragă concluzia corectă despre calitatea aproximării. De exemplu, dacă, și vorbim despre detaliile mașinii, măsurătorile sunt foarte dure și, dacă dimensiunea navei, atunci - foarte precisă. În acest sens, a introdus conceptul de eroare relativă, în care valoarea erorii absolute este atribuită modulului de valoare aproximativă ().
(6.1.2-2)

Utilizarea erorilor relative este convenabilă, în special, prin faptul că acestea nu depind de scara cantităților și a unităților de măsură a datelor. Eroarea relativă este măsurată în fracții sau procente. De exemplu, dacă
, dar, atunci și dacă și,
atunci.
Pentru a evalua numeric eroarea unei funcții, trebuie să cunoașteți regulile de bază pentru calcularea erorii acțiunii:

  • la adăugarea și scăderea numerelor, erorile absolute ale numerelor se adaugă

  • atunci când se înmulțește și se împart numărul între ele, se adaugă erorile lor relative


  • atunci când numărul aproximativ este ridicat la o putere, eroarea sa relativă este înmulțită cu exponentul


Exemplul 6.1.2-1. Funcția este dată :. Găsiți erorile absolute și relative ale valorii (eroarea rezultatului efectuării operațiilor aritmetice), dacă valorile sunt cunoscute, iar 1 este numărul exact și eroarea sa este zero.

Prin definirea astfel, eroarea relativă, se poate găsi o valoare de eroare absolută ca în cazul în care valoarea este determinată de la valori aproximative

Deoarece valoarea exactă a cantității este de obicei necunoscută, calculul prin formulele de mai sus este imposibil. Prin urmare, în practică, erorile limită ale formularului sunt evaluate:
(6.1.2-3)
unde și sunt cunoscute cantitățile care sunt limitele superioare ale erorilor absolute și relative, în caz contrar ele sunt numite erori relative limitative absolute și limitative. Astfel, valoarea exactă se situează în intervalul:






și
dacă

E
Dacă valoarea este cunoscută, atunci și dacă valoarea este cunoscută, atunci

Eroarea absolută absolută a unei funcții a formei care este diferențiată într-o anumită regiune, cu valori cunoscute ale argumentelor și, de asemenea, cu erorile absolute limitative limitate ale argumentelor, se calculează prin formula:
(6.1.2-4)

și, respectiv, eroarea relativă limitată a funcției
(6.1.2-5)
În cazul particular pentru o funcție a unei variabile (pentru m = 1):

Exemplul 6.1 .2-2. Estimați erorile absolute și relative ale numărului aproximativ.

Numărul este un număr transcendental, reprezentat de o fracțiune infinită neperiodică.

Valoarea aproximativă a unui număr.

Marja de eroare absolută, eroarea relativă a numărului
Exemplul 6.1.2-3. Găsiți cifrele semnificative ale numărului.

Numerele semnificative numeric sunt toate cifrele din înregistrarea sa, începând cu primul non-zero din stânga. Numărul numit numel este numit corect dacă eroarea absolută a numărului nu depășește unitatea cifrei corespunzătoare acestei cifre.

Numerele numerice sunt subliniate:
Exemplul 6.1.2-4. Determinați cifrele corecte ale numărului și subliniați.
Dacă, atunci, numărul corect din numărul 5.

Dacă, atunci, numărul corect din numărul 4.

Dacă, atunci, numărul corect din numărul 7.

Dacă acesta este numărul corect din numărul 8.
Exemplul 6 .1.2-5. Calculați erorile din operațiile aritmetice folosind MathCad.

Pentru a estima erorile operațiunilor aritmetice, ar trebui utilizate următoarele afirmații: eroarea absolută a sumei algebrice (sumă sau diferență) nu depășește suma erorilor absolute ale termenilor. Fie numerele u date cu erori absolute u.

^ Să calculam erorile produsului și coeficientul:


Exemplul 6.1.2-6. Calculați eroarea funcției prin intermediul programului MathCad.

Prin condițiile inițiale date presupunem că erorile sunt egale

Valoarea funcției este

6.1.3. Încercați sarcini pe această temă
"Elemente ale teoriei erorilor"



  1. Eroarea unui număr este

  1. gradul de diferență dintre valoarea aproximativă a unui număr și valoarea exactă

  2. măsurarea numărului de inexactități

  3. măsoară precizia unui număr

  4. procent din numărul de precizări


  1. Modulul de diferență între valoarea exactă și cea aproximativă este

  1. eroare relativă

  2. eroare absolută

  3. precizie

  4. nu există un răspuns corect în listă


  1. Eroarea relativă este exprimată prin raportul

  1. eroare absolută a modulului diferenței dintre cifrele aproximative și cele exacte

  2. modul de număr aproximativ de eroare absolută

  3. eroare absolută la modulul de valoare aproximativă

  4. nu există un răspuns corect în listă


  1. Eroarea absolută a numărului este măsurată

  1. în acțiuni

  2. în aceleași unități de măsură ca și numărul însuși

  3. în procente

  4. este o cantitate fără dimensiuni


  1. Eroarea relativă a numărului este măsurată

  1. este o cantitate fără dimensiuni

  2. în procente

  3. în procente sau fracții

  4. în aceleași unități de măsură ca și numărul însuși


  1. Eroarea datorată efectuării acțiunilor cu privire la datele obținute cu precizie limitată este

  1. rotunjire eroare

  2. eroare de metodă

  3. nu există un răspuns corect în listă

  4. eroare nerecuperabilă


  1. La calcularea erorii rezultatului adăugării a două numere aproximative

  1. erorile lor absolute sunt scăzute

  2. erorile lor absolute se adaugă

  3. erorile lor absolute sunt împărțite

  4. erorile lor absolute se înmulțesc


  1. La calcularea erorii rezultatului obținut prin scăderea de la un număr aproximativ al unui altul

  1. erorile lor absolute sunt scăzute

  2. erorile lor absolute sunt împărțite

  3. erorile lor absolute se adaugă

  4. erorile lor absolute se înmulțesc


  1. Atunci când se calculează eroarea rezultatului obținută prin înmulțirea numerelor aproximative una cu cealaltă,

  1. erorile lor relative se înmulțesc

  2. erorile lor relative sunt scăzute

  3. erorile lor relative sunt împărțite

  4. erorile lor relative se adaugă


  1. Atunci când se calculează eroarea în rezultatul obținut atunci când un număr aproximativ este crescut la o putere,

  1. eroarea relativă a numărului este înmulțită cu exponentul

  2. erorile relative în numărul și exponentul gradului sunt înmulțite

  3. eroarea relativă a numărului este împărțită de exponent

  4. erorile relative ale numărului și exponentului sunt adăugate


  1. Pentru a spori acuratețea rezultatului calculelor prin metode numerice,

  1. măriți valoarea erorii specificate în rezultat

  2. reduceți valoarea erorii specificate în rezultat

  3. crește numărul de iterații

  4. nu există un răspuns corect în listă


  1. Eroarea în soluția numerică a problemei este determinată de

  1. condiționalitatea sarcinii

  2. eroarea în reprezentarea numerelor reale într-un calculator

  3. sensibilitatea algoritmului de calcul la erorile de rotunjire

  4. valoarea datelor originale






Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: