Studiem proprietățile generale ale sistemelor dinamice autonome: lema pe îndreptarea unui câmp vectorial, teorema lui Liouville și primele integrale. Teorema Poincare-Bendixson este dovedită, sunt introduși indicii Poincaré și funcția de succesiune.
Comportamentul limitator al sistemelor dinamice este studiat în detaliu. Ecuațiile clasice van der Pol sunt investigate folosind metodele de perturbări mici ale sistemelor conservatoare, precum și prin utilizarea mapărilor Poincare.
Teoria lui Focke-Lyapunov este dată. Considerăm formele normale de sisteme dinamice în vecinătatea punctelor singulare și dovedim teorema Andreev-Hopf privind bifurcația și crearea unui ciclu în avion.
Sunt studiate modele discrete și continue ale dinamicii populației. Analiza se bazează pe abordarea bifurcație, când se construiește un parametric împreună cu un portret de fază. În cazul discret, dublarea ciclului și dublarea teoriei elementare Feigenbaum sunt studiate. În cazul continuu, sunt luate în considerare modelele clasice Lotka-Volterra, precum și diferitele lor modificări, ceea ce duce la apariția ciclurilor limită. Cazurile generale de interacțiune dintre cele trei specii sunt studiate ca un exemplu de posibil comportament complex.
- Proprietăți ale sistemelor dinamice (tipuri de traiectorii de fază, proprietăți de grup).
- Lemma privind rectificarea unui câmp vectorial.
- Teorema lui Liouville privind rata de schimbare a volumului de fază.
- Derivații datorate sistemului și proprietăților sale. Primele integrate ale sistemului.
- Sisteme hamiltoniene. Etapele traiectoriilor de mișcare a particulelor într-un câmp potențial (n = 1).
- Clasificarea punctelor de odihnă ale sistemelor liniare pe plan și în spațiu.
- Teorema lui Lyapunov asupra stabilității în prima aproximare (lemma lui Fedoryuk asupra perturbării matricei Iordaniei).
- Limita comportamentului traiectoriilor. Proprietățile seturilor de limite.
- Condiții pentru inexistența unei traiectorii închise Bendikson-Dulac. Aplicarea teoremei lui Brauer pentru dovada existenței punctelor fixe și a traiectoriilor închise.
- Funcția succesiune (harta Poincaré) și proprietățile sale.
- Teorema lui Bendikson-Poincare.
- Teoremă asupra funcției monotonice Lyapunov.
- Indicii Poincaré și Brouwer.
- Perturbări mici ale sistemelor conservatoare (conform lui LS Pontryagin). Apendice la ecuația Van der Pol cu un parametru mic.
- Dovada existenței unui ciclu de limită în ecuația generală Van der Pol folosind harta Poincaré.
- Sisteme stabile din punct de vedere structural. Bifurcare. Bifurcațiile Andronov-Hopf și bifurcația heteroclinică.
- Teorema lui Poincaré asupra formei normale într-o vecinătate a unui punct singular al sistemului. Cazul rezonanțelor.
- Forma normală în cazul centrului (n = 2). Prima valoare Lyapunov.
- Teorema Andronov-Hopf (n = 2).
- Teorema lui Floquet-Lyapunov și aplicarea sa la problema stabilității sistemelor liniare cu coeficienți periodici.
- Modele de populație discrete. Chaos și bifurcație în mapări unidimensionale. Elemente ale teoriei lui Feigenbaum.
- Modelul clasic Lotka-Volterra este un "prădător-pradă". Principiul lui Voltaire. Model Lotka-Volterra în ceea ce privește concurența intraspecifică.
- Modelul interacțiunii dintre două specii concurente. Imposibilitatea existenței ciclurilor limită în modelele clasice Lotka-Volterra din plan.
- Modele de tip Lotka-Volterra ținând cont de diferiți factori: non-linearitatea reproducerii și saturației etc. Modelul "prădător-pradă" de Gouse-Kolmogorov.
- Modelarea efectului Ollie. Modelele deschise ținând cont de efectul Ollie.
- Sistemul Lotka-Volterra de trei sau mai multe populații. Clasificarea structurilor trofice. Ecuația Lotka-Volterra pentru lanțul alimentar.
- Concurență ciclică a speciilor.
- Modele non-degenerate de tip Lotka-Volterra. Punctele de absorbție, condițiile necesare pentru nondegenerare.
- Condiții suficiente pentru nondegenerare.
- Sisteme de replicatoare. Cazul replicării heterociclice.
- Modelul populației ținând cont de distribuțiile de vârstă.
- Modele Bilocal (modele Turing). Apariția auto-oscilațiilor în cele mai simple modele biologice.
- Undele biologice. Ecuația Fisher-Kolmogorov. Ecuația Lotka-Volterra ținând cont de distribuțiile spațiale.
- Arnold V.I. Ecuații diferențiale obișnuite. - Moscova, Nauka, 1971, 239 p.
- Arnold V.I. Capitole suplimentare ale teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite. - Moscova, Nauka, 1978, 302 p.
- Petrovsky IG Cursuri privind teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite. - Moscova, Science, 1964, 272 p.
- Arrowsmith D. Place K. Ecuațiile diferențiale obișnuite. - Moscova, World, 1986, 243 p.
- Bazykin AD Biofizica matematică a interacțiunii populațiilor. - MN 1985, 179 p.
- Hofbauer J. Sigmund K. Teoria evoluției și a sistemelor dinamice. - London Math. Sos. Student Texts 7, Cambridge University Press, 1988, 341 p.
Trimiteți-le prietenilor: