Din punct de vedere geometric, câmpul de direcție poate fi reprezentat prin trasarea la fiecare punct al domeniului D a unui segment al lungimii unității centrat în acest punct, formând un unghi (unde) cu direcția pozitivă a axei. Dacă în momentul în care partea dreaptă a ecuației (1.31) devine infinită, atunci direcția câmpului este paralelă cu axa ordinii (de la at). Dacă punctul devine nesigur, atunci câmpul de direcție în acest punct nu este definit, iar punctul în sine este numit punctul singular al ecuației diferențiale.
Acum, în interpretarea geometrică, problema integrării ecuației diferențiale (1.31) poate fi formulată astfel: găsiți curbe tangente la care la fiecare punct coincid cu direcția câmpului în acest punct.
Interpretarea geometrică a ecuației (1.31) servește drept bază pentru construirea metodelor aproximative pentru rezolvarea ecuației (1.31). O astfel de metodă se numește metoda isoclinei. Isoclina câmpului de direcție este locul locurilor în care direcția câmpului este aceeași. Ecuația isocline va fi linia
sau. Metoda isocline a soluției aproximative a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi poate fi reprezentată după cum urmează.
Fie ca ecuația diferențială (1.31) să fie dată cu condiția inițială. Să presupunem că ecuația are o soluție unică. Împărțim curba în părți și înlocuim fiecare parte a curbei cu o linie tangentă în anumite puncte ale curbei. Curba integrala poate fi acum inlocuita de o linie poligonala formata din segmente de tangente. Segmentele tangentelor sunt obținute prin metoda isocline din ecuația (1.32).
Exemplul 1. Sunt date ecuația și condiția inițială. Construiește isocline și o soluție aproximativă.
Soluție: Construim izocline, presupunând egalitatea; ; ; ; . Obținem ecuația liniilor isocline cu aceeași panta de tangente:
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; .
Știm un punct al curbei integrale. În acest moment, unghiul format de tangenta la axa ,. Desenați o linie tangentă din punct (înainte de a se intersecta cu cea mai apropiată isoclină). Din punctul de intersecție rezultat, construim segmentul tangent la un unghi față de intersecția cu următoarea isoclină în punctul respectiv. Din punctul în care construim un segment al tangentei la un unghi față de intersecția cu următoarea isoclină într-un punct și așa mai departe. Ca rezultat, obținem o linie întreruptă care aproximează soluția ecuației date. Această linie întreruptă va fi cu cât este mai exactă soluția ecuației, cu atât este mai mare cu isoclinele.
REMARK 1. Folosind metoda isoclinei, este posibil să se construiască aproximativ soluțiile generale ale ecuației (1.31). Această metodă face posibilă determinarea liniilor și a regiunilor caracteristice ale câmpului curbelor integrale, cum ar fi, de exemplu, regiunea creșterii (pentru), scăderea (pentru) curbelor integrale, a liniilor extreme (). Dacă, în plus, funcția din ecuația (1.31) este diferențiabilă, atunci prin intermediul specificării implicite a celui de-al doilea derivat
este posibil, după determinare, să se determine regiunea convexității - concavitatea (,) și punctul de inflexiune al curbelor integrale ().
EXEMPLUL 2. Construiți o curbă integrală aproximativă a ecuației utilizând metoda isoclinei.
Remarcăm, scrieți ecuația izoclină (): de unde este familia hiperbola.
1) Când avem sau.
Astfel, linia este linia extremă (linia nu este o linie de extremă, deoarece este o soluție particulară a ecuației și alte curbe integrale nu pot trece prin teorema existenței și unicității soluției prin punctele sale).
2) Intervale ascendente / descendente:
3) Intervalele de convexitate sunt concavități (vezi formula (2.6)).
.
Ecuații diferențiale de ordinul întâi
topic: 2. Ecuații diferențiale cu variabile separate și separate. Ecuații diferențiale omogene și reductibile la ele.
2.1 Concepte de bază. Problema Cauchy
2.2 Integrarea ecuatiilor diferentiale cu variabile separate si separabile
Trimiteți-le prietenilor: