Grupul nilpotent

Lungimea celei mai scurte serii centrale a unui grup nilpotent se numește clasa sa (sau pasul) de nilpotență.
- Toate grupurile nilpotent ale clasei nilpotency de cel mult n formează o varietate definită de identitate [... [[x 0. x 1]. x 2]. .... xn] = 1, \; x_], \; x_], \; \ ldots, \; x_] = 1.>
- Grupurile libere din acest soi, adică grupuri care satisfac numai aceste relații, sunt numite grupe libere gratuite.

În orice grup nilpotent, seria centrală inferioară (și, de asemenea, superioară) se termină pe subgrupul unității și are o lungime egală cu clasa de nilpotență a grupului.
Grupurile finale de nilpotent sunt epuizate de produse directe ale grupurilor p.
În orice grup nilpotent, elementele comenzilor finite formează un subgrup al cărui grup de coeficienți este lipsit de torsiune.
Grupurile nilpotent generate fără torsiune sunt epuizate de grupuri de matrice triunghiulare întregi cu cele pe diagonala principală și subgrupurile lor.
Grupurile nilpotent generate în mod finit sunt grupuri policiclice. în plus, au o serie centrală cu factori ciclici.
Orice grup generat definitiv fără nilpotent fără torsiune este o latură într-un grup Lie nilpotent pur și simplu conectat.