Densitatea spectrală complexă X (jf) a semnalului continuu x (t) (în cele ce urmează vom spune pentru scurt timp: spectrul de semnal) se calculează prin formula transformării directe Fourier
Semnalul x (t) poate fi reconstruit din spectrul lui X (jf) prin intermediul transformării inverse Fourier sau a integrării Fourier
În conformitate cu principiul incertitudinii, un semnal având o durată de timp limitată are un spectru nerestricționat (figura 1.9a). În schimb, un semnal cu un spectru limitat are o lungime infinită în timp (figura 1.10, a). După cum reiese din aceste figuri, un semnal continuu, atât de durată limitată, cât și de infinit în timp, are un spectru continuu.
Dacă semnalul x (t) este periodic, spectrul său este discret, adică Acum, X (n) este folosit în loc de X (jf). Această situație este prezentată în Fig. 1.9, b. Perioada semnalului este egală cu durata semnalului Tc. Intervalul de eșantionare a frecvenței pentru frecvența F este determinat, după cum se știe, de perioada de semnal, în acest caz F = 1 / Tc. Formulele pentru transformările directe și inverse Fourier sunt obținute din (3) și (4) prin înlocuirea frecvenței continue f prin valorile discrete ale nF. În acest sens, ar trebui să se țină cont de relația binecunoscută dintre amplitudinile armonicelor X [n] ale semnalului periodic și ale citirilor X [jnF] ale densității spectrale X (jf) a semnalului continuu:
Spectrul X [n] al unui semnal periodic este calculat prin formula
Semnalul x (t) poate fi reconstruit din spectrul său discret, folosind formula
În conformitate cu principiul dualității, se poate spune: dacă spectrul este periodic, atunci semnalul va fi discret (figura 1.10, b). Denumirea perioadei de repetare a spectrului fd. obținem intervalul de eșantionare al semnalului T = 1 / fd.
Formulele pentru transformarea Fourier înainte și inversă pentru semnalele discrete au forma
Ecuațiile (7) și (8) utilizează notația x [n] = x (nT).
Exemplul 4.1. Se calculează spectrul unui semnal discret format dintr-o probă x [n] = [a; 0; 0; 0; ...].
Folosim formula (7), în care înlocuim valorile x [n] ale semnalului dat
Exemplul 4.2. Calculăm spectrul funcției discrete exponențiale x [n] = 0.5n, n # 63; 0.
Graficul grafic al funcției discrete x [n] este prezentat în Fig. 1.11, iar citirile sale pot fi scrise ca o secvență x [n] =.
Calculam spectrul unui exponent discret prin formula (7)
unde pentru însumarea seriei formula
Obținem o expresie pentru calcularea spectrului de amplitudini X (f). folosind formula Euler
Pentru a plota graficul, vom seta valorile f de la 0 la 1 / T în pași de 0.1 / T și vom calcula X (f). Spectrul spectrului de amplitudine X (f) al funcției discrete exponențiale x [n] = 0.5n este prezentat în figura 1.12. După cum se poate observa din grafic, spectrul semnalului discret este continuu și periodic cu perioada fd = 1 / T.
Dacă observați o eroare în text, selectați cuvântul și apăsați Shift + Enter
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: