Pentru a clarifica relația dintre transformarea Z și transformarea Laplace continuă, precum și raportul proprietăților de frecvență ale semnalelor discrete și continue, să luăm în considerare relația dintre spectrele acestor semnale.
Spectrul semnalului continuu x (t) este determinat de transformarea lui Fourier. unde w = 2pf este frecvența circulară a semnalului, - w w w ..
Pentru a găsi expresia pentru spectrul unui semnal discret, acesta trebuie mai întâi prezentat în formă continuă cu ajutorul funcțiilor d
unde U * (t) este o secvență de funcții d care coincide cu perioada T. Ca o funcție periodică U * (t) poate fi extinsă într-o serie Fourier
unde este frecvența de cuantizare circulară, Uk este coeficientul seriei Fourier:
deci toți coeficienții seriei Fourier sunt egali independent de valoarea lui k. Pentru întreaga sumă a funcțiilor d
Substituind U * (t) în expresia semnalului, obținem
În această formă, semnalul x * (t) poate fi supus transformării Fourier:
unde este spectrul semnalului continuu schimbat cu k w0.
Concluzia generală: spectrul unui semnal discret reprezintă o sumă infinită (Figura 5.6) a spectrelor schimbate ale unui semnal continuu.
Aceasta înseamnă că, la o anumită frecvență de cuantizare, caracteristicile de frecvență ale sistemelor discrete vor reprezenta suma caracteristicilor de frecvență schimbate ale sistemelor continue corespunzătoare. Aceasta înseamnă de asemenea că, dacă frecvența maximă a spectrului de semnal continuu (wm) sau frecvența maximă de transmisie a părții continue a sistemului (wn) este mai mică decât jumătate din frecvența de cuantificare w0. atunci suprapunerea componentelor individuale ale spectrului nu va avea loc, iar caracteristicile sistemului discret într-un domeniu de frecvență semnificativ vor coincide cu caracteristicile sistemului continuu.
Și așa pentru sistemul este necesar.
Pentru transmiterea nedistorsionată a unui semnal continuu prin valorile sale discrete este necesar ca frecvența maximă a spectrului de semnal continuu.
Ultima condiție este nucleul faimosului teorem al impulsului Kotel'nikov-Shannon, conform căruia frecvența de cuantificare w0 = 2p / T trebuie să fie de cel puțin 2 ori mai mare decât frecvența maximă a spectrului continuu de semnal transmis prin valorile sale discrete.
5.3.2. Legătura dintre transformarea Laplace continuă
și transformarea Z
Din expresiile pentru transformările continue Laplace și Fourier date mai înainte, rezultă că și. Folosim aceste relații pentru transformarea semnalelor discrete și pentru a obține. Dacă introduceți un înlocuitor. obținem legătura dintre transformarea Laplace continuă și transformarea Z
Din punct de vedere simbolic, această relație este scrisă după cum urmează:
care înseamnă simbolic.
Expresiile de cuplare înregistrate F (z), F (z, s), F (s) sunt în principal de importanță teoretică și nu sunt utilizate pentru determinarea practică a F (z) și F (z, s) în F (s). Există două modalități de trecere practică de la F (s) la F (z) și F (z, s).
Funcția de timp corespunzătoare imaginii originale este determinată preliminar.
Pentru a facilita tranziția către un domeniu discret, mai întâi putem descompune F (s) într-o sumă de summe simple.
Expansiunea în termeni simpli dă
Din tabelele de corespondență avem :. În acest fel. Subiectul f (t) la transformarea Z, obținem:
Există o tranziție directă de la F (s) la F (z), folosind tabelul de corespondență al imaginilor [6]. Dacă nu există nicio imagine în tabelul corespunzător F (s) date, F (s) este descompusă într-o sumă de expresii mai simple.
Un exemplu. Lasă-l să fie. Reprezentăm suma termenilor dați de F (s). în cazul în care. Definim o transformare Z modificată
Un caz special. important în practica înregistrării imaginilor Z în funcție de un anumit F (s).
5.3.3. Transformarea inversă Laplace
Transformarea inversă Laplace este definiția funcției de timp f (t), pentru care transformarea directă Laplace
Transformarea Z inversă este definirea unei funcții de timp discrete f (nT) (f [(n + s) T]) pentru care sau.
Observăm restricțiile care trebuie luate în considerare prin efectuarea transformării inverse Laplace sau a transformării inverse Z.
1. Nu fiecare funcție F (s) are o transformare inversă. Existența unei transformări inverse este determinată de condițiile necesare și suficiente impuse F (s).
2. Transformarea directă Laplace este unică pentru fiecare f (t) având o astfel de transformare. Declarația contrară, în cazul general, este nedreaptă. Diferitele funcții discontinue pot avea aceeași transformare Laplace. De exemplu, funcția pasului unității f (t) = 0 pentru t <0 и f (t ) = 1 для t> 0 are transformarea Laplace 1 / s, indiferent de valoarea luată la t = 0.
3. Transformarea Z sau Zs inversă, dacă există, ne permite să determinăm numai secvența valorilor individuale ale funcției continue-originale existente la momentele de timp t = nT sau
t = (n + s) T. Un set de plicuri f (t) poate corespunde aceleiași secvențe de valori discrete f (mT) sau f [(n + s) T]. Prin urmare, în transformarea inversă Z este în principiu imposibil să reconstruim o funcție continuă f (t).
Există două modalități practice generale de determinare a transformărilor inverse atât pentru sistemele continue, cât și pentru cele discrete.
1. Utilizarea tabelelor de transformări inverse Laplace și transformări inverse Z, de exemplu în [6]. Dacă imaginile originale F (s) și F (z) nu sunt în tabel, ar trebui să utilizați descompunerea sa în suma sau produsul imaginilor disponibile în tabel.
2. Utilizați formula de inversiune.
Pentru imagini continue
Valoarea integrala a conturului este definita in intervalul deschis, unde f (t) este marcat si are un numar finit de puncte extrema si discontinuitate. Soluția poate fi adesea obținută cu ajutorul teoremei reziduurilor:
Calculul integral al tratamentului ca sumă a reziduurilor este utilizat pe scară largă în diferite produse software utilizate în simularea computerizată a sistemelor automate de control.
Pentru o imagine discretă, formula de inversiune are forma
Conturul de integrare R trebuie să cuprindă originea planului Z și toate punctele singulare ale integranței. Ca și în cazul continuu, integrarea circulară este de obicei calculată ca suma reziduurilor integrantei la punctele singulare:
N este numărul de reziduuri; N = q + 1 pentru n = q pentru n> 0, unde q este numărul punctelor singulare ale funcției F (z, s).
Deducerile sunt calculate după cum urmează:
- pentru un pol simplu
- pentru un pol multiplu de multiplicitate m
În plus față de cele două metode generale, în cazul transformărilor inverse Z, extinderea F (z, s) este de asemenea utilizată într-o serie în puteri crescătoare de z -1 în conformitate cu formula de bază a transformării Z
Atunci când F (z, s) este reprezentat de o fracție rațională, extinderea puterilor lui z -1 poate fi realizată prin simpla împărțire a numărătorului de către numitor.
Pentru expresiile mai complicate F (z) și F (z, s), este mai bine să utilizați formula recursivă:
În mod analog cu transformarea ecuației diferențiale a unui sistem continuu, este realizată transformarea Z a ecuației diferențiale a sistemului discret.
Fie ca sistemul discret să fie descris prin ecuație
Subiectul acestei ecuații diferențiale este transformarea Z, luând condițiile inițiale ca fiind zero:
Scriind ecuația rezultată într-o formă concisă, obținem
Luând raportul dintre imaginile Z, obținem funcțiile de transfer ale sistemului discret în funcție de efectele de control și de perturbare:
Pentru un sistem discret continuu, determinarea funcției de transfer discrete se face pe baza tranziției de la funcția de transfer continuă a părții continue reduse la echivalentul său discret în domeniul Z. Prezentăm această tranziție prin exemplul unui sistem deschis discret continuu cu un element de impuls la intrarea lui (figura 5.7). Pe diagrama.
Deoarece semnalul de intrare al părții continue reduse este suma funcțiilor d modulate de semnalul de intrare g (t), semnalul de ieșire y (t) va reprezenta suma răspunsului GPL la funcția d; adică suma funcțiilor de greutate ale GPL
Dacă în loc de semnalul continuu y (t) marcăm numai valorile sale discrete y (nT) sau y [(n + s) T], obținem funcția de latură y (n) sau y (n.
Subiectul acestei funcții de zăbrere este transformat Z transformat
Luând în considerare teorema de convoluție, avem
Aici este funcția de transfer discret a unui sistem deschis discret-continuu. Pe de o parte, acesta conectează imaginile Z ale semnalelor discrete, pe de altă parte, este definită ca forma Z a funcției de transfer a părții continue reduse.
În schemele structurale ale sistemelor discrete, elementele de impuls (discrete) sunt reprezentate de chei (Figura 5.8.). Uneori, o cheie este prevăzută cu o săgeată de închidere și o literă T mare, ceea ce înseamnă că elementul efectuează cuantizări cu o perioadă de T.
Elementul ideal de impuls este reprezentat de un dreptunghi cu un simbol - funcționează în interior (Figura 5.9, a).
Elementul de formare este reprezentat ca o legătură continuă obișnuită printr-un dreptunghi cu înregistrarea funcției sale de transfer (figura 5.9, b).
În plus față de schemele structurale generale, schemele structurale detaliate sunt utilizate pe scară largă, constând doar în unități cu scală inerțială și linii ideale de integrare cu conexiuni complet deschise între ele.
Articole similare
-
Spectrul unui semnal digital - semnale și transformările lor în procesarea digitală
-
Iluminarea liniilor de fibră optică și măsurarea atenuării semnalului în autostrăzi, articole utile
-
Know-how, prelegere, raport semnal-zgomot în sistemele de comunicații digitale
Trimiteți-le prietenilor: