Cea mai simplă formă a matricei unui operator liniar.
Matricile A și B sunt considerate a fi echivalente dacă există matrice nondegenerate Q și T astfel încât A = QBT.
TEOREM 6.1. Dacă matricile sunt echivalente, atunci rangurile lor sunt egale.
Dovada. Din moment ce rangul produsului nu depășește rândurile factorilor, atunci. Pentru că, atunci. Combinând cele două inegalități, obținem afirmația cerută.
TEOREM 6.2. Transformările elementare cu rânduri și coloane matricea A poate fi redusă la forma bloc, unde este matricea unității de ordin k. și 0 este matricea zero a dimensiunilor corespunzătoare.
Dovada. Oferim un algoritm pentru reducerea matricei A la formularul indicat. Numerele coloanelor vor fi indicate în paranteze pătrate, iar numerele de linie din paranteze.
2. În cazul în care mergeți la pasul 4, mergeți la pasul 3.
3. Noi facem transformări cu șiruri de caractere, unde i = r + 1, ..., m. și cu coloane, unde j = r + 1, ..., n. și. Măriți r cu 1 și reveniți la pasul 2.
4. Dacă, pentru i = r + 1, ..., m. j = r + 1, ..., n. apoi sfârșitul. În caz contrar, găsim i, j> r. asta. Rearanjăm rândurile și coloanele, înapoi la pasul 2.
Este evident că algoritmul va construi o secvență de matrici echivalente, ultimul având forma necesară.
THEOREM 6.3. Matricile A și B de aceeași mărime sunt echivalente dacă și numai dacă rândurile lor sunt egale.
Dovada. Dacă matricile sunt echivalente, atunci rangurile lor sunt egale (teorema 6.1). Fie ca randurile matricelor să fie egale. Apoi există matrice nondegenerate astfel încât, unde r = rgA = rgB (Teorema 6.2). Prin urmare, ambele matrice A și B sunt echivalente.
Rezultatele acestei subsecțiuni ne permit să găsim cea mai simplă formă a matricei operatorului liniar și baza spațiilor în care matricea operatorului liniar are forma cea mai simplă dată.
Articole similare
-
Definiții matrice echivalente, proprietăți și exemple de transformări elementare
-
Reglarea individuală sau cum se face un produs din fibră de sticlă fără o matrice
Trimiteți-le prietenilor: