16 Integrale care depind de parametru
Fie f (x, y) o funcție a două variabile definite pe un dreptunghi
Dacă pentru orice yV [c. d] există un integral, atunci acest integral este o funcție a variabilei y (care se numește aici un parametru):
.
Astfel, primim un nou mod de a specifica o funcție - sub forma unui integral în funcție de parametru.
Example1. Luați în considerare funcția. În acest exemplu, integratul este ușor de calculat :. Prin urmare, I (a) pot fi, de asemenea, specificate în mod obișnuit :.
Cu toate acestea, se întâlnesc frecvent integrale, care nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare. Apoi trebuie să lucrăm cu o funcție dată sub forma unui integral cu un parametru. Deci, trebuie să înveți cum să lucrezi cu astfel de funcții - în special să cunoști regulile pentru diferențierea și integrarea lor.
O situație mai complicată este de asemenea posibilă, atunci când parametrul depinde nu numai de funcția integrand, ci și de limitele de integrare :.
16.1 Teoreme de bază
16 .1 .1 Limitați tranziția sub semnul integrat.
Teorema 1 (privind continuitatea unei integrități cu un parametru). Dacă funcția f (x, y) este continuă pe dreptunghiul D = [a. b] '[c. d]. atunci funcția este continuă pe intervalul [c. d].
Dovada. Prin teorema lui Cantor, o funcție continuă pe un set compact D este uniform continuu, adică,
"e> 0 $ d> 0:" x ¢, x², y ¢, y² | x ¢ -x2 | . Acum estimăm incrementarea funcției I (y): . Notă. În teorema 1, este necesar ca f (x, y) să fie continuu în ambele variabile din agregat. și anume a. Nu este suficient că f (x, y) este continuă în fiecare dintre variabile. De exemplu, funcția continuă în x (pentru orice y fix) și continuă în raport cu y (pentru fiecare x fix) Funcția .Cu toate continuă (setul de variabile) într-un punct (0 0), nu este: nu există nici o limită. În acest caz, derivarea Teoremei 1 este de asemenea nedreaptă; de exemplu, funcția este discontinuă la punctul y = 0. Deoarece continuitatea lui I (y) înseamnă, prin definiție, că în orice punct y0. apoi urmează imediat din Teorema 1 . Dacă j (y), y (y) sunt funcții continue și f (x, y) este continuă pe set . Această afirmație întărește teoremele 1 și 2. O altă întărire a teoremelor 1, 2 este legată de înlocuirea cerinței de continuitate a f (x, y) cu o condiție mai slabă. Teorema3. Dacă f (x, y) este continuă în x (pentru orice y fix) și f (x, y) converge uniform la funcția g (x) pentru y y y0. atunci. Convergență uniformă: înseamnă: Dovada este simplă - se efectuează cu ajutorul aceleiași estimări ca și dovada teoremei 1. Teorema 3 este valabilă și în cazul y ® .. Numai definiția convergenței uniforme are o altă formă: pentru y ¥ ù "e $ m" y ³ M | f (x, y) -g (x) Exemplul 2. Calculați. Soluția. Deoarece funcțiile sunt continue pentru orice x, y. atunci este posibilă trecerea la limită sub semnul integrat: . Exemplul 3. Calculați. Soluția. Integrând este continuă pentru orice x. y și pentru y ® ¥ tinde să g (x) = x: . Această convergență este uniformă, deoarece "xV [0, 1] , dacă numai. Prin urmare, este posibil să mergeți la limită sub semnul integral: . 16 .1 .2 Diferențierea în raport cu un parametru. Teorema 4. Fie funcția f (x, y) și derivatul său parțial în raport cu variabila y continuă pe D = [a. b] '[c. d]. atunci . Cu alte cuvinte, derivatul poate fi calculat prin diferențierea sub semnul integrat. Dovada. Calculăm derivatul prin definiție: . Rămâne să demonstrăm că putem trece la limită sub semnul integrat. Pentru a folosi Teorema 3, dovedim asta. Aplicăm teorema Lagrange: , unde cÎ [y, y + Dy]. Prin ipoteză, ea este continuă și, prin urmare, teorema lui Cantor și este uniform continuă. Rezultă că , dar aceasta înseamnă convergență uniformă: . Aplicând Teorema 3, obținem ceea ce era necesar . Exemplul 4. Găsiți derivatul funcției în punctul y = 2. Soluția. Prin calcularea integralului, putem găsi o expresie explicită pentru funcția I (y). și apoi să diferențieze. Cu toate acestea, este mai simplu să aplicăm teorema 4: , . Pentru xV [0. 1] și valorile lui y. aproape de 2. funcția și derivatul său parțial sunt în mod evident continue.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: