Dar acum este necesar să putem rezolva limitele funcțiilor, cel puțin la nivelul a două lecții de bază: Limite. Exemple de soluții și limite minunate. Deoarece multe metode de soluționare vor fi similare. Dar, în primul rând, să analizăm diferențele fundamentale dintre limita unei secvențe și limita unei funcții:
În limita secvenței, variabila "dinamică" "en" poate aspira doar la "plus infinit" - în direcția creșterii numerelor naturale. În limita funcției "X" poate fi trimis oriunde - la "minus infinit" sau la un număr real arbitrar.
Secvența este discret (discontinuă), adică constă din termeni izolați separați. Unu, doi, trei, patru, cinci, un iepuraș a ieșit la plimbare. Pentru argumentul funcției, continuitatea este caracteristică. care este, "X" lin, fără o aventură, se străduiește ...
la unul sau altul. Și, în consecință, valorile funcției se vor apropia în mod continuu de limita lor.
Datorită discrepanței, în cadrul secvențelor există unele lucruri de marcă care pierd orice semnificație pentru funcțiile tradiționale. De exemplu, factoriali, "fluiere", progresii. Cu alte cuvinte, nu există "X Factorial" sau "X în minus un grad". Și acum voi încerca să aflu limitele care sunt specifice secvențelor.
Să începem cu progresele:
Găsiți limita secvenței
Soluția. ceva asemănător unei progresii geometrice infinit de scădere, dar nu-i așa? Pentru claritate, vom scrie primii câțiva termeni:
Deci, cum. atunci vorbim despre suma termenilor unei progresii geometrice infinit de descreștere, care este calculată prin formula.
Utilizăm formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. În acest caz: - primul termen; - numitorul progresiei.
Principalul lucru este de a face față fracțiunii de patru etaje:
Scrieți primii patru termeni ai secvenței și găsiți limita
Acesta este un exemplu de auto-decizie. Pentru a elimina incertitudinea numerotatorului, trebuie să aplicăm formula sumei primilor termeni ai progresiei aritmetice:
. unde este primul și este al zecelea membru al progresiei.
Întrucât în secvențele "en" există întotdeauna tendința de "plus infinit", nu este surprinzător faptul că incertitudinea este una dintre cele mai populare.
Și multe exemple sunt rezolvate la fel ca limitele funcțiilor!
Cum se calculează aceste limite? Vezi Exemplele nr. 1-3 ale lecției. Limite. Exemple de soluții.
Sau poate ceva mai complicat. Vedeți exemplul 3 din articolul Metode pentru rezolvarea limitelor.
Din punct de vedere formal, diferența va fi doar într-o singură literă - există "X" și aici "en".
Metoda este aceeași - numitorul și numitorul trebuie împărțiți în "en" la cel mai înalt grad.
De asemenea, în secvențe, incertitudinea este destul de comună. Cum puteți rezolva limitele de tipul celor de la exemplele 11-13 ale aceluiași articol.
Pentru a face față limitei. consultați Exemplul # 7 al lecției. Limite minunate (cea de-a doua limită remarcabilă este valabilă și pentru cazul discret). Soluția va fi din nou ca o copie de carbon cu o diferență într-o singură literă.
Următoarele patru exemple (numerele 3-6) sunt, de asemenea, "cu două fețe", dar în practică, dintr-un anumit motiv, ele sunt mai tipice pentru limitele secvențelor decât pentru limitele funcțiilor:
Găsiți limita secvenței
(1) În numerotator, folosim formula de două ori.
(2) Oferim astfel de termeni în numărător.
(3) Pentru a elimina incertitudinea, împărțiți numitorul și numitorul cu ("en" la cel mai înalt grad).
După cum puteți vedea, nimic complicat.
Găsiți limita secvenței
Acesta este un exemplu pentru auto-decizie, o formulă pentru multiplicarea redusă a ajutorului.
Într-un interval cu secvențe exponențiale, se folosește o metodă similară de împărțire a numărătorului și a numitorului:
Găsiți limita secvenței
Soluția este aceeași:
(1) Utilizarea proprietăților puterilor. scoateți din indicatori tot excesul, lăsând acolo doar "en".
(2) Privim secvențele demonstrative în limita: și alegeți secvența cu cea mai mare bază. Pentru a elimina incertitudinea, împărțiți numitorul și numitorul cu.
(3) Facem împărțirea în numerotator și numitor. Deoarece este o progresie geometrică infinit descendentă. atunci tinde la zero. Și cu atât mai mult, constanta, împărțită de progresia crescândă, tinde la zero. Faceți notele corespunzătoare și scrieți răspunsul.
Găsiți limita secvenței
Acesta este un exemplu de auto-decizie.
Într-un fel, fără rezerve, rămăsese în scrierile de scriere uimitoare, inerente numai limitei de coerență. E timpul să corectăm situația:
Găsiți limita secvenței
Soluția. pentru a scăpa de "rivalul veșnic" trebuie să scrie factoriali sub formă de lucrări. Dar înainte de a trece la graffiti matematice, ia în considerare un exemplu specific, de exemplu.
Ultimul factor al lucrării este șase. Ce trebuie să faceți pentru a obține multiplicatorul anterior? Scădeți unul: 6 - 1 = 5. Pentru a obține multiplicatorul, care este localizat și mai departe, trebuie să scăpați unul din cinci din nou: 5 - 1 = 4. Și așa mai departe.
Nu vă faceți griji, nu este o lecție în clasa întâi a școlii corecționale, de fapt ne familiarizăm cu un algoritm important și universal numit "cum să descompuneți orice factorial". Să facem față cu cel mai rău inundații din chat-ul nostru:
Evident, ultimul factor din produs va fi.
Cum se obține multiplicatorul anterior? Subtractați unul:
Cum să-mi aduc străbunicul? Încă o dată scăpați una.
Ei bine, cu un pas mai departe vom merge mai adânc:
Astfel, monstrul nostru va semna după cum urmează:
Cu factoriali ai numărătorului totul este mai simplu, deci, huligani mici.
(1) Factori de vopsire
(2) În numărul de doi termeni. Noi luăm pentru paranteze tot ceea ce poate fi îndurat, în acest caz această lucrare. Parantezele pătrate, așa cum am spus de câteva ori, diferă de paranteze doar de pătratul lor.
(3) Reducem numărătorul și numitorul cu .... ... hmmm, sunt multe inundații.
(4) simplificăm numărul de numerar
(5) Reducem numărătorul și numitorul cu. A fost norocos într-o anumită măsură. În general, în partea superioară și inferioară se obțin polinomi obișnuiți, după care este necesară efectuarea unei acțiuni standard - împărțirea numărătorului și numitorului cu "en" la cel mai înalt grad.
Studenții mai pregătiți, care se pot factorioriza cu ușurință în mintea lor, pot rezolva un exemplu mult mai rapid. În primul pas, împărțim numerotatorul numeric cu numitorul și executăm mintal abrevierile:
Dar metoda de descompunere este încă mai solidă și mai sigură.
Găsiți limita secvenței
Acesta este mai mult un exemplu de auto-decizie.
Cei care doresc să-și umple mâna pe tipurile de limite luate în considerare pot face referire la colecția lui Kuznetsov. Aproximativ 150 de exemple sunt listate aici >>> (sarcinile nr. 2-6).
Ca în orice societate, printre secvențele numerice există personalități extravagante.
Teorema. Produsul unei secvențe delimitate de o secvență infinitezimală este o funcție infinitezimală.
Dacă nu sunteți foarte clar cu privire la termenul "limitat", vă rugăm să studiați articolul despre funcțiile și graficele elementare.
O teoremă analogică este valabilă, de altfel, pentru funcții: produsul unei funcții limitate pe o funcție infinitezimală este o funcție infinitezimală.
Găsiți limita secvenței
Soluția. secvență - limitată. iar secvența este infinit de mică, deci de teorema corespunzătoare:
Simplu și gustos. Da, da, și da-i afară.
Și de ce nu?
Găsiți limita secvenței
Acesta este un exemplu de auto-decizie.
Alte două funcții limitate comune sunt arctangent și arccotangent:
Argumentele tuturor funcțiilor trigonometrice enumerate pot fi umplute cu un abracadabra nobil, dar acest lucru nu ar trebui să se panică - este esențial ca secvențele să fie limitate!
Uneori, în timpul calculării limitelor secvențelor, trebuie să utilizăm tehnici destul de neașteptate:
Găsiți limita secvenței
Soluția. Incertitudinea poate fi dezvăluită în două moduri. Prima cale este prin prima limită remarcabilă. Ciudat, cum ar părea, pentru șiruri de caractere:
(1) Folosim formula.
(2) Scapăm de cosinus, indicând faptul că tinde spre unitate.
(3) Incertitudinea nu este eliminată, dar acum avem un sinus în loc de o tangentă și este posibil să organizăm prima limită remarcabilă. Realizăm o metodă artificială standard: împărțiți întreaga expresie în și, pentru ca nimic să nu se modifice, să se multiplice.
(4) Folosim prima limită remarcabilă. în timp ce, ca o cantitate infinit de mică, apare. care, desigur, tinde la zero când.
Rolls și a doua metodă de soluționare - prin echivalențe remarcabile:
Înlocuim secvența infinitezimală cu o secvență echivalentă:
la.
În acest caz
Găsiți limita secvenței
Acesta este un exemplu de auto-decizie. Aici argumentul arctangentului este de asemenea infinit de mic. deoarece numitorul său are o ordine superioară de creștere. decât numitorul. Deciderea, desigur, este mult mai avantajoasă prin echivalență remarcabilă.
Ambele exemple considerate sunt valabile pentru funcții, limite similare sunt de asemenea dezasamblate în Exemplele 12-13 ale lecției despre cantități infinitezimale.
În concluzia lecției, să luăm în considerare o altă întrebare importantă:
Navigare după înregistrări
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: