Un grafic al unei funcții diferențiate este considerat a fi concav în intervalul (a, b) dacă este situat deasupra oricăror dintre tangentele sale în acest interval (Figura 10).
Un grafic al unei funcții diferențiate se consideră a fi convex în intervalul (a, b) dacă este situat sub oricare dintre tangentele sale în acest interval (Figura 11).
Astfel, parabola y = x 2 este o funcție concavă pe întreaga axă numerică (Figura 12), iar semicercul y = 1 - x 2 (Figura 13) are un grafic convex pe intervalul [-1; 1].
Punctul M 0 (x 0. f (x 0)), aflat pe grafic și separând partea convexă a graficului de partea concavă, se numește punctul de inflexiune al funcției y = f (x) (Figura 14).
Convexitatea (concavitatea) funcției "corespunde" celui de-al doilea derivat al funcției y = f (x).
Se afirmă următoarea afirmație: dacă funcția y = f (x) are al doilea derivat f (x) în toate punctele din intervalul (a, b) și dacă în toate punctele acestui interval f (x) <0. то график функции в интервале ( a, b ) – выпуклый, если же f ′′ ( x )> 0, atunci graficul funcției este concav în acest interval.
Fig. 12 Fig. 13 Fig. 14
Punctele de inflexiune trebuie căutate între acele puncte la care al doilea derivat
Dacă în stânga unui astfel de punct și în dreapta lui f '' (x) există semne diferite, atunci punctul găsit va fi punctul de inflexiune.
Construcția graficului funcției este mult facilitată dacă cineva își cunoaște asimptotele.
Un asimptot al unei curbe este o linie dreaptă, distanța de la care până la un punct de pe curbă tinde la zero, deoarece distanța de la originea acestui punct de-a lungul curbei este nelimitată.
Asimptotele pot fi verticale, oblice și orizontale.
Se spune că linia este asimptota verticală a graficului funcției y = f (x), dacă
Dar dacă cel puțin una dintre aceste limite nu există sau este egală cu infinitatea, atunci curba y = f (x) nu are asimptote înclinate.
Observăm că trebuie să luăm în considerare separat cazurile x → + ∞ și x → -∞. Un caz special
asimptotul oblic pentru k = 0 și b = lim f (x) este asimptota orizontală. Prin urmare, y = b -
ecuația asimptotelor orizontale.
Luați în considerare graficul funcției din Fig. 15. Punctele x = x 2. x = x 4 sunt punctele extreme ale funcției, punctul x = x 1 este punctul de inflexiune. Punctul x = x 3 este un punct singular al funcției, în care f (x) suferă o discontinuitate, iar linia x = x 3 este o asimptote verticală
funcția grafică. Linia dreaptă y = kx + b va fi, de asemenea, asimptota graficului, numai curba oblică, linia dreaptă y = 0 este asimptota orizontală a graficului.
Dacă punctul M (x, y) se află pe grafic și se îndepărtează neîngrădit de origine, se apropie de una dintre aceste linii; Distanța de la punctul M (x, y) la asimptote tinde la zero.
Schema generală a studiului funcției și a construcției graficului
Pentru un studiu general al funcției și construirea unei diagrame, este util să respectați următorul plan.
Găsiți domeniul funcției, punctele de discontinuitate a funcției și intervalele de continuitate Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate.
Găsiți intervalele semnului constant al funcției (intervale pe care f (x)> 0 sau f (x) <0). Решить вопрос о чётности, нечётности, симметрии, периодичности функции.
Dacă există puncte de discontinuitate a celui de-al doilea tip, găsiți asimptote verticale. Găsiți dacă sunt, asimptote înclinate și orizontale.
Folosind primul derivat, găsiți punctele extreme și zonele de creștere și descreștere a funcției date. Găsiți valorile extreme ale funcției.
Folosind derivatul 2, găsiți punctele de inflexiune, regiunile convexității și concavității. Construiți un grafic.
Exemplu: Pentru a investiga funcția y =
Articole similare
-
Construiți un grafic al unei funcții y f (x) având proprietățile date a) lim f (x) 3 (x -
-
Un ghid pentru crearea graficii pixelilor pentru jocuri - lecții grafice pixel și lecții photoshop,
Trimiteți-le prietenilor: