Acțiunea poate fi reprezentată în formă (expresia obișnuită prin funcția Lagrange :). Se poate demonstra acest lucru. a. atunci
Ecuația lui Hamilton-Jacobi.
Este o ecuație diferențială parțială de ordinul întâi.
Un integral integral este o soluție a unei ecuații diferențiale parțiale care conține cât mai multe constante arbitrare independente, deoarece există variabile independente.
În ecuația lui Hamilton-Jacobi, u este independent; Astfel, întregul integral trebuie să conțină constante arbitrare. Deoarece funcția intră ecuația numai prin derivații ei, una dintre constantele arbitrare conținute în integralei completă a unui mod aditiv, adică, integrala completă a ecuației Hamilton-Jacobi este :. unde și sunt constante arbitrare.
Să explicăm acum legătura dintre integralul integral al ecuației Hamilton-Jacobi și soluția ecuațiilor de mișcare. Realizăm o transformare canonică de la noi variabile. Selectăm funcția ca funcție de generare și noi impulsuri. Noi coordonate. Folosim formulele de transformare canonică :.
Deoarece funcția satisface ecuația lui Hamilton-Jacobi, vedem că noua funcție hamiltoniană este 0 :. în consecință, ecuațiile canonice pentru noile variabile au forma:
Pe de altă parte, ecuațiile sunt posibile pentru a exprima coordonatele prin u și u. Așadar, putem găsi integralul general al ecuațiilor de mișcare.
Ca rezultat, metoda Hamilton-Jacobi se reduce la următoarele operații:
Ecuația Hamilton-Jacobi este compilată din funcție și se găsește un integral integral al formei.
Diferențându-l asupra constantelor arbitrare și echivalând-o cu noi constante. obținem un sistem de ecuații algebrice de formă :. rezolvarea cărora vom găsi coordonatele ca o funcție a constantelor de timp și arbitrare.
Dependența poate fi găsită mai târziu din ecuații
Dacă aceasta nu depinde în mod explicit de timp, adică sistemul este conservator, atunci ecuația Hamilton-Jacobi are o formă mai simplă. În acest caz. unde - acțiune scurtă. Apoi, înlocuind aceasta în ecuația Hamilton-Jacobi, obținem o nouă ecuație Hamilton-Jacobi pentru :. unde este energia sistemului.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: