Semnul necesar de convergență
Să fie o secvență infinită de numere.
sau, care este același lucru, se numește o serie numerică. dar numerele
- membri ai seriei. Un termen cu un număr arbitrar este numit al n-lea sau termenul general al seriei.
În sine, expresia (1) nu are nici un sens numeric definitiv, deoarece atunci când se calculează suma, de fiecare dată avem de-a face cu un număr finit de termeni. Este foarte natural să definim sensul acestei expresii după cum urmează.
Lăsați seria (1) să fie dată.
Definiția. Suma primilor termeni ai seriei
este numită a n-ta suma parțială a seriei. Formăm o secvență de sume parțiale:
Cu o creștere nelimitată a numărului n din sumă, se ia în considerare un număr tot mai mare de termeni ai seriei. Prin urmare, este rezonabil să se dea o astfel de definiție.
Definiția. Dacă există o limită finită a secvenței sumelor parțiale din seria (1), atunci seria este numită convergentă și numărul este numit suma sa.
Dacă secvența nu tinde la o limită, se spune că seria este divergentă. Observăm că seriile se pot diferenția în două cazuri: 1) dacă, 2) dacă este oscilantă. În ambele cazuri se spune că nu există un număr de sume.
Exemplul 1. Luați în considerare o serie compusă din termeni ai progresiei geometrice:
unde - este numit primul membru al progresiei și - numitorul său.
Suma parțială a acestei serii are forma
adică, seria de progresii geometrice converge și suma sa.
În special, dacă seria converge și suma acesteia.
Pentru o serie, suma sa este de asemenea convergentă.
2) dacă, atunci, adică, seriile (2) se deosebesc.
3) dacă, atunci seria (2) ia forma. În acest caz
și. adică seria se diferențiază (pentru).
4) dacă, atunci seria (2) ia forma. Pentru această serie
care este, este oscilant și nu există, prin urmare, serie, de asemenea, se diferențiază (pentru).
Calculul sumei unei serii este, prin definiție, foarte incomod din cauza dificultății de a calcula în mod explicit sumele parțiale și de a găsi limita secvenței lor. Dar, dacă se stabilește că seria converge, suma sa poate fi calculată aproximativ, deoarece rezultă din definiția limitei unei secvențe care pentru suficient de mare. Prin urmare, în studiul seriilor,
1) cunoașteți tehnicile care ne permit să stabilim convergența seriei fără să găsim suma;
2) să poată determina când o sumă parțială aproximează suma unei serii cu o anumită precizie.
Convergența seriei numerice este stabilită prin teoreme, numite teste de convergență.
Calificări necesare
Dacă seria converge, atunci termenul său comun tinde la zero, adică.
Prin urmare, rezultă că, dacă nu este egal cu zero, seria se diferențiază.
Exemplul 2. Dovediți că seria se diferențiază dacă
comparație cu seria armonică dată. t. e ..
Deoarece limita este finită și diferită de zero și seria armonică se diferențiază, seriile date diferă de asemenea.
b) Pentru un număr suficient de mare
, prin urmare - termenul general al seriei cu care vom compara data:
Seria converge (seria Dirichlet c). prin urmare, această serie, de asemenea, converge.
c), deci un infinitezimale
înlocuiți-o cu valoarea (
Apoi termenul general al seriei pentru comparație.
Deoarece limita este finită și nu egală cu zero, iar seria se diferențiază (seria Dirichlet c). atunci această serie diferă.
Există semne de convergență a seriilor care permit evaluarea directă a convergenței sau divergenței unei serii date fără a fi comparată cu o serie a cărei comportare este cunoscută.
Să fie un semn pozitiv. Dacă există. atunci seria converge. dar cu o serie de divergențe.
Dacă, atunci semnul lui d'Alembert nu oferă ocazia de a judeca comportamentul seriei. În acest caz, sunt necesare cercetări suplimentare, de exemplu, folosind semnele de comparație.
În exemplele 5 (a) și (b), utilizând limita de comparație, sa stabilit că seria se diferențiază, iar seria converge. Să vedem cum funcționează simptomul d'Alembert cu privire la aceste serii:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: