Tema 5. Interesul comprehensiv
1. Rata complexă de actualizare.
2. Creștere continuă și reducere.
Luați în considerare situația acumulării preliminare a interesului compus, adică atunci când o dobândă compusă (de exemplu, pentru un împrumut sau pentru vânzarea unui document financiar înainte de scadență) se percepe în momentul încheierii acordului financiar. În acest caz, se efectuează o operațiune de actualizare (contabilitate) și se aplică o rată de scont compus.
Să presupunem că o anumită obligație a datoriei pentru suma și scadența în ani este vândută (înregistrată) înainte de termen, cu o reducere la o rată anuală complexă de actualizare. Dacă vindeți un an înainte de termenul limită, dobânda este acumulată și vânzătorul primește suma. Dacă vindeți doi ani înainte de scadență, atunci timp de un an dobânda este acumulată, iar pentru al doilea an - cu suma actualizată în etapa anterioară, i. E. vânzătorul va primi o sumă etc. Dacă datoria este vândută cu ani înainte de termenul limită, vânzătorul va primi o sumă
unde factorul se numește factorul de reducere.
Astfel, aceasta reprezintă valoarea curentă (actuală) a plății viitoare. Reducerea este egală cu:
Prin formula (5.1) (după cum rezultă din explicația acestei formule), suma este luată din procentele compuse "100".
Obligația de a plăti 20 mii KZT cu o scadență în 4 ani a fost contabilizată cu 2 ani înainte de perioada cu o reducere la o rată de actualizare complexă de 8%. Găsiți valoarea reducerii.
Ca mii KZT, atunci
Dacă perioada pentru care se efectuează actualizarea nu este un număr întreg de ani, atunci sunt posibile următoarele metode de determinare a valorii capitalului înregistrat de ani de zile:
- utilizarea unei rate de actualizare complexe (se aplică formula (5.1)):
- utilizarea unei scheme mixte (o rată de actualizare complexă pentru un număr întreg de ani și o rată de actualizare simplă pentru o parte fracționată a anului):
unde este numărul întreg de ani;
- parte fracționată a anului,
Desigur, pentru formulele (5.3) și (5.4), ele coincid între ele și cu formula (5.1).
În condițiile din exemplul precedent, obligația de îndatorare a fost înregistrată cu 27 de luni înainte de termenul limită. Găsiți valoarea reducerii.
Noi denotăm; ; ; . Prin formula (5.3) obținem:
Folosind formula (5.4), obținem
Să comparăm discountul pentru ratele de discount simple și complexe. Pentru a face acest lucru, este suficient să comparăm factorii de actualizare u, care, evident, sunt aceiași și egali. Se poate arăta că pentru inegalități există următoarele inegalități:
Astfel, pentru o persoană care efectuează o acumulare preliminară (antipatică) de interes și, prin urmare, o reducere:
- mai avantajos este reducerea la o rată de actualizare complexă, dacă perioada contabilă este mai mică de un an;
- mai avantajoasă este actualizarea la o rată de actualizare simplă, dacă perioada contabilă depășește un an;
-discountul în ambele cazuri dă același rezultat, dacă perioada contabilă este de un an.
Este util să ne imaginăm că, din punct de vedere practic, condiția nu este de fapt o restricție atât de puternică. Întrucât rata de actualizare este corectă, condiția este satisfăcută automat. Și dacă, atunci inegalitatea (b) este de asemenea adevărată din punct de vedere formal pentru, de atunci, dar întotdeauna. Cu toate acestea, în practică, atunci când se efectuează o reducere la un interes simplu, cazul duce la absurditate.
Se determină valoarea actualizată la contul de 1 milion. Tenge pentru rate simple și complexe cu discount în cazul în care rata anuală de actualizare este de 14% și de contabilitate are loc în termen de 30 de zile, 90 de zile, 180 zile, 1 an, 5 ani, 7 ani. Numărați anul egal cu 360 de zile.
Obținem următoarele rezultate de calcul:
Rețineți că reducerea la o rată de actualizare simplă pentru o perioadă mai mare de 7,15 ani duce la inacceptabilitatea valorilor practice (vom primi valori negative ale sumelor actualizate). Cu toate acestea, contabilizarea unei rate de scont complexe oferă întotdeauna valori discontinue pozitive. De exemplu, cu contul de 10 ani vom primi: milioane de lei.
Să scontarea are loc o dată pe an și să ceară rata de actualizare anuală dificilă (în același mod ca și înainte de rata dobânzii, utilizând indicele de sus indică numărul de ori scontarea întâmplă pe tot parcursul anului). Rata anuală de actualizare se numește nominală (rata nominală), în cazul în care, la începutul fiecărei perioade de durată se efectuează la o rată de actualizare.
În această notație, formula (5.1) pentru determinarea costului capitalului, luată în considerare în decursul anilor de reduceri repetate în cursul anului, va lua forma
Întrucât, odată cu creșterea numărului de actualizări în anul, valoarea capitalului înregistrat crește.
Obligația de a plăti 3 000 KZT cu o scadență în 5 ani a fost luată în considerare cu doi ani înainte de data scadenței. Determinarea sumei primite dacă a fost produsă: a) semestrial; b) reducerea trimestrială la o rată de actualizare nominală de 12%.
În acest caz;
a) deoarece, atunci conform formulei (5.5):
b) deoarece, atunci conform formulei (5.5):
Să presupunem că în (5.5) nu este un număr întreg. Acest lucru este posibil atunci când calculul dobânzii (sau discontării) dobânzii antipresente se efectuează pe subperioanele intra-anuale, dar perioada totală nu este egală cu întregul număr de subperioade. În acest caz, puteți utiliza fie formula:
Desigur, (5.6), în esență, este un alt record (5.5).
Determinați valoarea curentă a sumei de 4 mii KZT, dacă este plătită în 2 ani și 3 luni și actualizată cu o jumătate de an, la o rată nominală de actualizare nominală de 10%.
Noi credem ani ,. apoi; ,.
Dacă folosim formula (5.6), atunci
mii tenge, care este egal cu 793 tenge 88 tiyn.
Și dacă vom folosi formula (5.7), atunci
mii tenge, care este egal cu 794 tenge 14 tiyn
Din punctul 5.5, se determină o perioadă în care sunt cunoscute valorile tuturor celorlalți parametri:
Din aceasta, pentru, obținem formula
care, bineînțeles, pot fi de asemenea derivate din (5.1).
Pentru obligația datoriei de 300 mii tenge, banca a plătit 200 mii zece. Cât timp înainte de data scadenței a fost luată în considerare această obligație, în cazul în care banca a folosit o rată anuală de reducere anuală de 8%?
Presupunând ,,, conform formulei (5.9), obținem:
Din egalitatea (5.5) se poate găsi valoarea ratei nominale de actualizare (dacă se cunosc valorile parametrilor rămași)
și când, această formulă ia forma
Proiectul de lege a fost contabilizat cu un an și jumătate înainte de data, în timp ce proprietarul biletului la ordin a primit 0,8 din suma înscrisă pe factură. Pentru ce rata de reducere anuală complicată a fost considerată această factură?
Întrucât ", atunci, adică .
Ca și în cazul ratelor dobânzilor, este posibil să se determine rata de actualizare efectivă anuală, care oferă o tranziție de la k la valori date ale acestor parametri și o singură reducere. Deoarece în conformitate cu definiția în termen de un an
apoi după simple transformări pe care le obținem
Rezultă din (5.10) că scade odată cu creșterea (de la al doilea termen din partea dreaptă a ecuației). În general, putem arăta că dacă inegalitatea este valabilă, ceea ce, desigur, poate fi explicat și din considerente financiare.
Calculați rata de actualizare efectivă anuală pentru o frecvență diferită de actualizare și o rată nominală de actualizare egală cu 10%.
Folosind formula (5.10), pentru unele valori vom scrie rezultatele în formă tabelară:
Din formula (5.10) este posibil să se găsească un raport pentru determinarea ratei nominale de actualizare dacă numărul de actualizări pe an este, de asemenea, cunoscut:
Determinați rata nominală dacă rata efectivă de actualizare este de 9%, iar discountarea la o rată de actualizare complexă se efectuează lunar.
În acest caz și, prin urmare, de (5.11):
Utilizând o rată de actualizare efectivă, este posibil să se determine ratele nominale de dobândă echivalente și ca ratele care satisfac egalitățile:
Trebuie remarcat faptul că o rată de actualizare efectivă anuală poate fi găsită fără a se cunoaște rata nominală de actualizare și cunoașterea valorii și a prețului său actualizat (într-un fel) în timp. Deoarece după cum poate fi scris, atunci
Obligația de îndatorare egală cu 5 mii tenge cu scadență în 4 ani a fost luată imediat în considerare în bancă, iar proprietarul obligației a primit 4,2 mii tenge. Găsiți o rată de actualizare eficientă în această tranzacție.
O rată complexă de actualizare este aplicată nu numai pentru implementarea procesului de actualizare. Să rezolvăm ecuația (5.1) cu privire la:
Ecuația (5.13) se numește formula de acumulare prin dobândă compusă la rata de actualizare; multiplicator - multiplicator de accretion la calcularea procentelor complexe antipatulative; - un factor de construcție sau un coeficient complex antiprocedent. În mod natural, multiplicatorul de expansiune este egal cu indicele de creștere a capitalului de ani de zile.
Formula (5.13) reprezintă formula de acumulare prin procente compuse "în 100". într-adevăr
și anume este suma capitalului inițial și a dobânzii "100" în raport cu. Din moment ce
atunci este suma capitalului (acumulat pentru un an din capital) și procentul "100" în raport cu, etc.
Este evident că majorarea capitalului
nu este proporțională nici cu timpul, nici cu rata.
Observăm că, determinată de formula (5.13), se formează o evoluție geometrică cu un numitor.
De când inegalitatea (cu excepția cazului, desigur, dar pentru rata dobânzii este întotdeauna satisfăcută), concreșterea ratei de actualizare (5.13) este mai rapid (ceea ce este benefic pentru creditor) decât incrementul ratei dobânzii (3.1) (care este benefic pentru împrumutat ).
Vom arăta cum să folosească metodele dekursivnogo și antisipativnogo Interesul poate explica de ce dobânda acumulată „în 100“ (folosind rata de actualizare) oferă rezultate semnificativ mai bune decât dobânda acumulată „100“ (folosind rata dobânzii).
Lasă dobânzile la investiția inițială să fie percepute cu o rată. În cazul unei metode decursive, la sfârșitul anului investitorul va primi suma și dobânda "de la 100", i. E. . Cu un mod antisipativnym, dobânda se percepe la începutul anului și le permite să le emită imediat investitorului, care le investește imediat. Valoarea dobânzii se calculează și se oferă imediat investitorului, care îl investește imediat, etc. Să presupunem (desigur, numai teoretic) că aceste acțiuni sunt repetate de nenumărate ori, atunci investitorul va obține valoarea:
care este suma termenilor de progres geometric cu un număr nelimitat de termeni și un numitor. Astfel, și aceasta este acumularea de "100%".
Dacă acumularea dobânzii compuse la rata de actualizare se face o dată pe an, atunci formula pentru determinarea sumei acumulate se obține din ecuația (5.5), rezolvând-o cu privire la:
și cu creșterea frecvenței acumulării dobânzii compuse, suma cumulată scade.
Conform termenilor contractului financiar, un depozit de 400.000 KZT, plasat în bancă timp de 3 ani, este acumulat la o rată de actualizare complexă de 9% pe an. Determinați suma acumulată, dacă se calculează dobânda: a) anual; b) semestrial; c) lunar.
a) prin formula (5.13):
b) deoarece, folosim (5.15):
c) stabilirea de către (5.15) obținem:
Este util să se constate că, în cazurile b) și c) pot fi, natural-venno, utilizează formula (5.13), luând în considerare numărul de rânduri egal cu periodicitatea, respectiv, 6 și 36, și cu discount rate - 4,5% (9% 2). 0,75% (9% .12). Dacă acreție complex pro-cenți livrate în rata dobânzii, atunci opțiunile a), b), c) se obține din formula (3.1) (3.12) corespunde, respectiv valoare: 518 012 KZT 520 904 KZT 523 458 tenge, adică odată cu creșterea numărului de dobânzi aferente exercițiului, valoarea creșterii se mărește. În schimb, odată cu creșterea numărului de dobânzi aferente anului la o rată de actualizare complexă, valoarea sumei acumulate scade. Se observă că cu cât este mai mare numărul de angajamente pe parcursul anului, cu atât este mai mică diferența dintre sumele totale primite de modalitățile decursive și antisipative de calculare a dobânzii. Acest lucru este de înțeles, pentru că cu cât este mai puțin perioada de acumulare, cu atât mai puțin este diferența dintre noțiunile "preliminare" și "ulterioare". Deci, în cazul în care (în fiecare zi acumulează interes compus), atunci utilizarea ratelor dobânzilor dă 524,003 Tenge și aceeași dimensiune a ratei dobânzii - 523968 tenge, iar diferența dintre aceste sume este de doar 35 tenge
În anumite situații, condițiile contractului prevăd rate ale dobânzii variabile. Să presupunem că perioadele sunt stabilite ratele de actualizare, respectiv. Apoi, atunci când dobânda compusă crește, suma totală în timp (măsurând toate perioadele într-o unitate de timp) este determinată de formula
Indicați, atunci (5.16) ia forma. Astfel, pentru totdeauna puteți instala o rată de actualizare, care oferă același rezultat, în loc de dobânda flotantă, și puteți folosi formula (5.13).
Dacă, adică Pentru întreaga perioadă a acordului se stabilește o rată constantă, apoi (5.16) obținem (5.13).
In mod evident, formula (5.16) poate fi utilizat și în cazul în care perioadele exprimate în diferite unități de timp, sub rezerva acordului cu dimensiunile dimensiunilor ratelor dobânzilor corespun- calamină.
Contribuția în valoare de 1000 de tenge pus în bancă pentru o perioadă de 7 ani, și prevede următoarea procedură de calcul a dobânzii compuse, la o rată de actualizare variabilă în primii doi ani - 8% în următorii patru ani - 12%, iar în restul anului - 15%. Găsiți suma acumulată.
Presupunem (în acest fel și folosim formula (5.16):
Aceeași sumă crește cuantumul obținut atunci când se utilizează rata de actualizare complexă timp de 7 ani
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: