Ecuația valurilor 1

În cazul în care valul se propagă într-un mediu omogen, mișcarea lui este descrisă în general prin ecuația valurilor (ecuația diferențială parțială):







unde $ v $ este viteza de fază a valului $ \ triangle = \ frac ^ 2> + \ frac ^ 2> + \ frac ^ 2> $ este operatorul Laplace. Soluția ecuației (1.2) este ecuația oricărei valuri, aceste ecuații fiind îndeplinite, de exemplu, atât de valuri plane cât și de sferice.

Dacă un val de avion se propagă de-a lungul axei $ X $, atunci ecuația (1) este reprezentată ca:

Dacă cantitatea fizică se propagă ca un val, atunci ea satisface neapărat ecuația valurilor. Conversia este adevărată: dacă orice cantitate se supune ecuației valurilor, atunci se răspândește ca un val. Viteza propagării unui val va fi egală cu rădăcina pătrată a coeficientului, care reprezintă suma derivatelor spațiale (în acest tip de înregistrare).

Ecuația valurilor joacă un rol foarte important în fizică.

Soluția ecuației de undă pentru un val de avion

Scriem soluția generală a ecuației (2) pentru un răsadurile de undă de lumină într-un vid, dacă funcția s scalare depinde numai de una dintre variabilele carteziene, cum ar fi $ z $, adică $ s = s (z, t) $, ceea ce înseamnă , funcția $ s $ are o valoare constantă în punctele planului care este perpendiculară pe axa $ Z. Ecuația valurilor (1) în acest caz are forma:

unde viteza de propagare a luminii în vid este $ c $.

Soluția generală a ecuației (4) în condiții date este expresia:

unde $ s_1 \ stânga (z + ct \ dreapta) $ - o funcție care descrie un val de forme arbitrare, care se deplasează la o viteză $ c $ în direcția negativă în raport cu axa $ Z $, $ s_2 \ stânga (z-ct \ dreapta) $ este o funcție care descrie un val de formă arbitrară care se deplasează la o rată $ c $ în direcția pozitivă în raport cu direcția $ a axei Z. Trebuie notat faptul că în procesul de deplasare a valorilor $ s_1 $ și $ s_2 $ în orice punct al undelor și forma lor de undă sunt neschimbate.







Se pare că valul, care descrie suprapunerea a două valuri (în conformitate cu formula (5)). Iar aceste valuri componente se mișcă în direcții opuse. În acest caz, nu mai putem vorbi despre viteza sau direcția undei. În cel mai simplu caz, se produce un val în picioare. În general, este necesar să se ia în considerare un câmp electromagnetic complex.

Ecuația valurilor și sistemul de ecuații Maxwell

Ecuațiile valurilor pentru oscilațiile vectorilor de intensitate a câmpului electric și vectorul magnetic de inducție al câmpului magnetic pot fi ușor obținute din sistemul ecuațiilor Maxwell într-o formă diferențială. Scriem sistemul ecuațiilor lui Maxwell pentru o substanță în care nu există sarcini libere și curenți de conducere:

Aplicăm operația $ rot $ la ecuația (7):

În expresie (10), putem schimba ordinea diferențierii pe partea dreaptă a expresiei, deoarece coordonatele spațiale și timpul sunt variabile independente, prin urmare avem:

Să luăm în considerare faptul că, în ecuația (6), înlocuim $ rot \ overrightarrow $ în expresia (11) de partea dreaptă a formulei (6), avem:

Știind că $ rotrot \ overrightarrow = graddiv \ overrightarrow- ^ 2 \ overrightarrow $ și folosind $ div \ overrightarrow = 0 $, obținem:

În mod similar, putem obține ecuația valurilor pentru vectorul de inducție magnetică. Are forma:

În expresiile (13) și (14), viteza de fază a propagării valurilor $ (v) $ este egală cu:

Atribut: Obțineți o soluție generală a ecuației valurilor $ \ frac ^ 2s> - \ frac \ frac ^ 2s> = 0 (1.1) $ a unui val de undă plană.

Introducem variabilele independente ale formularului pentru funcția $ s $:

\ [\ xi = z-ct, \\ eta = z + ct \ stânga (1.2 \ dreapta).]

În acest caz, derivatul parțial $ \ frac $ este egal cu:

Derivatul parțial $ \ frac $ este egal cu:

Subtragerea termenului (1.4) pe termen (1.3), avem:

Adăugarea termică pe termen a expresiilor (1.4) și (1.3) dă:

Se găsește produsul laturilor de stânga ale expresiilor (1.5) și (1.6) și se iau în considerare rezultatele scrise pe partea dreaptă a acestor expresii:

Daca integram expresia (1.7) cu $ \ xi $, primim o functie care nu depinde de aceasta variabila si poate depinde doar de $ \ eta $, ceea ce inseamna ca este o functie arbitrara a $ \ Psi (\ eta) $. În acest caz, ecuația (1.7) are forma:

Realizăm integrarea lui (1.8) cu privire la $ \ eta:

unde $ s_1 \ left (s \ right) $ este un derivat antiderivativ, $ s_2 \ left (\ xi \ right) $ este constanta de integrare. În plus, funcțiile $ s_1 $ și $ s_2 $ sunt arbitrare. Luând în considerare expresiile (1.2), soluția generală a ecuației (1.1) poate fi scrisă ca:







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: