cu o singularitate la x, definit pentru integrabile pe [a, b] funcția f (x), the-core cerned F n (t, x) .udovletvoryaet condiții pentru toate d> 0 și un interval arbitrar
în care F x (d) depinde d și xu este independent de n. Dacă condițiile (1), (2) și (3) sunt realizate în mod uniform pe x-set, integral (f, x) .naz. singular singular pe E. Cele mai studiate proprietăți ale așa-numitei. miezuri pozitive (Φn (t, x) 0), kerneluri Dirichlet
din miezurile Poisson-Abel
nuclei generați prin diferite metode de sumare a expansiunilor ortogonale în polinoame ortonormale.
Conceptul de "S. și." a fost introdus de Lebesgue [1], care a subliniat importanța sa în studierea problemelor de convergență. Astfel, la studiul convergenței C. și. dați întrebări despre convergența și sumabilitatea trigonometrică. Serii Fourier, serii în polinoame ortogonale și, de asemenea, extinderi în sistemele ortogonale generale.
A. Lebesgue a stabilit criteriul convergenței dintre C. și. pentru funcțiile continue f (x) cu o variație limitată. DK Faddeev [2] a stabilit condițiile necesare și suficiente pentru convergența dintre C. și. la punctele Lebesgue ale funcției sumabile f (x). Din datele lui A. Lebesgue și D. K. Faddeev, condițiile de convergență a lui C. și. Este greu de verificat pentru betonul S. și. apoi o serie întreagă de lucrări a fost dedicată căutării unor condiții eficiente suficiente pentru convergența dintre C. și. atât la puncte individuale, cât și pentru convergență uniformă. Pentru convergența dintre C. și. la punctele de continuitate norma operatorului In (f, x) este suficienta, adica limita integrala
și pentru convergența la punctele Lebesgue, existența așa-numitei. "humpback majorant" pentru kernelul $ n (t, x), adică pentru o astfel de funcție integrabilă. care crește monotonic pe [a, x), scade monotonic pe (x, b) și pentru aproape toate
Lit. : [1] Lebesque H., "Facultatea de științe din Toulouse", 1909, v. 1, p. 25 - 117; [2] Faddeev, DK "Matematicheskii sb.", 1936, voi 1, p. 351-68; [3] PP Korovkin, Operatori liniari și teoria aproximării, M. 1959; [4] IP Natanson, Teoria funcțiilor unei variabile reale, a 3-a ed. M. 1974; [5] G. Aleksich, Probleme de convergență a seriei ortogonale, Per. cu engleza. M. 1963; [6] AV Efimov, Izvestiya AN SSSR, Ser. Matem., 1960, vol. 24, p. 5, p. 743-56; [7] Telyakovskii SA în același loc, 1964, v. 28, c. 6, p. 1209-1236.
Enciclopedia matematică. - M. Enciclopedia sovietică IM Vinogradov 1977-1985
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: