Orice transformare liniară determină în mod unic matricea A a operatorului într-o anumită bază a spațiului.
Un vector nonzer este numit vectorul caracteristic (corespunzător) al unei matrice pătrate. aparținând propriului său înțeles. dacă după transformare trece într-un vector diferit de numai printr-un factor constant. adică dacă
Un factor numeric se numește rădăcina caracteristică (valoarea proprie) a matricei A a operatorului.
Pentru orice vector propriu al matricei A. aparținând valorii proprii și a oricărui număr, vectorul este, de asemenea, un vector propriu al matricei A. Acesta aparține valorii proprii.
Multe probleme aplicate ale economiei sunt reduse la problema găsirii valorilor proprii și vectorilor proprii ai matricelor.
Ecuația (6.7) poate fi reprezentată în formular
Matricea este numită matricea caracteristică.
O soluție netrivială (nonzero) a ecuației (6.8) există numai dacă determinantul matricei caracteristice este egal cu zero:
Ecuația (6.9) se numește ecuația caracteristică. Dacă A este o matrice de ordine. atunci ecuația caracteristică este o ecuație algebrică de grad n în ceea ce privește:
Această ecuație nu are în mod necesar rădăcini distincte, dintre care unele pot fi numere complexe. La fiecare dintre aceste rădăcini caracteristice corespunde un vector caracteristic, definit până la un factor constant.
Exemplul 6.2. Ecuația caracteristică pentru matrice are forma. Ecuația are două rădăcini :. . Vectorii caracteristici corespunzând și. sunt vectori și. unde c este o constantă arbitrară. Constantele arbitrare sunt adesea excluse din considerare prin introducerea vectorilor normalizați. În acest exemplu, vectorii normalizați sunt și.
Proprietăți ale rădăcinilor caracteristice
1. Suma rădăcinilor caracteristice este egală cu următoarea matrice:
3. Produsul rădăcinilor caracteristice este egal cu determinantul matricei :.
4. Numărul rădăcinilor caracteristice non-zero ale matricei coincide cu rangul acestei matrice.
5. Rădăcinile caracteristice ale matricei diagonale sunt elementele principalei diagonale.
6. Pentru matricele simetrice, toate valorile proprii sunt numere reale.
Conform teoremei lui Hamilton-Cayley. Matricea A este rădăcina ecuației sale caracteristice:
Teorema lui Hamilton-Cayley. Fie ecuația caracteristică a matricei A să fie ecuația
Apoi ecuația matricei
În unele cazuri, problema de a găsi vectorii proprii aparținând valorii proprii este de interes. Condițiile suficiente pentru existența unui astfel de vector propriu derivă din următoarea teoremă.
Teorema privind valoarea proprie a unității Dacă în matricea A suma elementelor fiecărei coloane este egală cu 1, atunci există un vector propriu aparținând valorii proprii 1.
În multe probleme asociate cu căutarea vectorilor proprii ai economiei aplicate, numai vectorii proprii cu componente pozitive au un înțeles semnificativ. Condițiile existenței unor astfel de vectori sunt date de teorema lui Frobenius-Perron.
Teorema lui Frobenius-Perron. Fie A o matrice non-negativă. apoi:
1. Valoarea proprie maximă a matricei A nu este negativă. Dintre vectorii proprii aparținând unui vector non-negativ.
2. În cazul în care toate vectorii proprii non-negativi ai matricei A sunt pozitivi și apar doar la valoarea sa proprie, care este maximă în valoare absolută. În plus, în acest caz oricare două vectori proprii pozitivi și diferă numai printr-un factor numeric, adică.
În problemele (6.1-6.3), vectorii u sunt dat de coordonatele lor într-o anumită bază G. Dovediți că sistemul este, de asemenea, o bază și găsiți coordonatele vectorului pe această bază.
În problemele (6.4) și (6.5), vectorii u sunt dat de coordonatele lor într-o anumită bază. Este necesar să se demonstreze că sistemele de vectori și sunt, de asemenea, baze. Găsiți matricea de tranziție de la baza G la o bază.
Găsiți o bază ortonormală a vectorilor proprii și o matrice pe această bază pentru un operator liniar dat în mod ortonormal de matricea A (baza necesară nu este definită în mod unic):
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: