Pentru caracterizarea împrăștierea valorilor X ale trăsătură cantitativă populația generală în jurul valorii sale medii, este introdus caracteristica rezumat - dispersia generală.
Varianța generală este media aritmetică a pătratelor de deviații ale valorilor caracteristicilor populației din valoarea lor medie.
Dacă toate valorile. . semnul populației totale a volumului N este diferit
Dacă valorile caracteristicilor. . au respectiv frecvențe. . . și.
Exemplul 1. Populația generală este dată de un tabel de distribuție:
Găsiți varianța generală.
Soluție: Să găsim media generală:
Să găsim dispersia generală:
Pe lângă varianță, o caracteristică compusă, deviația medie pătrată, este utilizată pentru a caracteriza împrăștierea valorilor caracteristicilor populației generale în jurul valorii medii.
Abaterea medie pătrată medie (standard) este rădăcina pătrată a varianței generale :.
Pentru a caracteriza dispersia valorilor observate ale caracteristicilor cantitative ale eșantionului în jurul valorii medii, se introduce o caracteristică compusă, o variație a eșantionului.
Varianța selectivă este media pătratelor aritmetice ale deviației valorilor caracteristice observate din media lor.
Dacă toate valorile. . caracteristicile eșantionului de volum n sunt diferite, atunci
Dacă valorile caracteristicilor. . au respectiv frecvențe. . . și. atunci.
Exemplul 2. Un set de eșantioane este dat de o tabelă de distribuție:
Găsiți variația eșantionului.
Soluție: Să găsim media eșantionului:
Să găsim variația eșantionului:
Pe lângă varianță, o caracteristică compusă, deviația medie pătrată, este utilizată pentru a caracteriza împrăștierea valorilor caracteristice ale unui eșantion stabilit în jurul valorii medii.
O abatere medie pătrată selectivă (standard) este rădăcina pătrată a variației eșantionului:
Calculul varianței, indiferent dacă este selectiv sau general, poate fi simplificat utilizând următoarea teoremă.
Disiparea este egală cu pătratele medii ale valorilor caracteristicilor minus pătratul mediei totale :.
Un exemplu. Găsiți variația eșantionului pentru o distribuție dată
Soluția. Să găsim eșantionul:
Găsiți pătratele medii ale valorilor caracteristicilor:
Să presupunem că avem nevoie pentru datele de probă pentru a evalua (aproximativ găsit) din varianța populației necunoscute. În cazul în care estimatorul variației de varianța ia eșantionului, atunci această estimare ar duce la erori sistematice, oferind o valoare scăzută a varianței populației. Motivul este acela că, după cum se poate demonstra, varianța eșantionului este o estimare părtinitoare în alte cuvinte, așteptarea varianței eșantionului nu este egală cu variația estimată a populației, precum și.
Este ușor să "reparăm" variația eșantionului astfel încât așteptările sale matematice să fie egale cu variația generală. Este suficient ca acest lucru să se înmulțească cu o fracțiune. După ce am făcut acest lucru, obținem varianța corectată, care este de obicei indicată prin:
Variația corectată este, desigur, o estimare imparțială a varianței generale.
Astfel, ca o estimare generală a dispersiei, se adoptă varianța corectată.
Pentru a estima aceeași abatere standard a populației generale, utilizați deviația standard "corectată", care este egală cu rădăcina pătrată a varianței corectate:
10.1.11 Precizia evaluării, fiabilitatea. Intervalul de încredere
Un punct este o estimare care este definită de un singur număr. Toate estimările considerate mai sus sunt cele punctuale. Dacă selectați un volum mic, estimarea punctului poate diferi în mod semnificativ de parametrul estimat, adică duce la erori brute. Din acest motiv, cu o dimensiune mică a eșantionului, ar trebui utilizate estimări ale intervalului.
O estimare se numește un interval, care este determinat de două numere - sfârșitul intervalului. Estimările intervalelor permit stabilirea corectitudinii și fiabilității estimărilor (sensul acestor concepte este explicat mai jos).
Permiteți caracteristica statistică găsită din datele eșantionului să servească ca o estimare a parametrului necunoscut. Vom considera ca acesta este un număr constant (poate fi o variabilă aleatorie). În mod evident, determină cu mai multă precizie parametrul. Cu cât valoarea absolută a diferenței este mai mică. Cu alte cuvinte, dacă și. apoi mai mici. cu cât evaluarea este mai exactă. Astfel, un număr pozitiv caracterizează precizia estimării.
Fiabilitatea (probabilitatea de încredere) a unei estimări este probabilitatea cu care se realizează inegalitatea. De obicei, fiabilitatea evaluării este dată în avans, iar un număr apropiat de unitate este considerat ca fiind calitatea. Cea mai comună este o fiabilitate de 0,95; 0,99 și 0,999.
Lasă probabilitatea asta. este egal cu. .
Înlocuirea inegalității printr-o inegalitate dublă echivalentă. sau. noi avem
Această relație trebuie înțeleasă după cum urmează: probabilitatea ca intervalul să cuprindă (acoperă) un parametru necunoscut. este egal cu.
Încrederea se numește un interval. care acoperă un parametru necunoscut cu o fiabilitate dată.
Metoda intervalelor de încredere a fost dezvoltată de statisticianul american Yu Neiman, bazat pe ideile statisticii engleze a lui R. Fisher.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: