Un integru nedefinit și sensul său geometric. Proprietățile de bază ale unui integral nedefinit.
Metode de bază pentru integrarea unui integral nedefinit.
Un integral definitiv și sensul său geometric.
Formula lui Newton-Leibniz. Metode de calcul al unui integrat definit.
Cunoscând derivatul sau diferența unei funcții, puteți găsi funcția în sine (restabilirea funcției). O astfel de acțiune, inversul diferențierii, se numește integrare.
O funcție primitivă cu privire la o funcție dată este o funcție al cărei derivat este egal cu o funcție dată;
Pentru această funcție, funcțiile primitive sunt nenumărate; oricare dintre funcții este, de asemenea, un antiderivativ pentru.
Colecția tuturor antiderivanților pentru o anumită funcție este numită integralul său nedefinit, marcat cu simbolul:
se numește integrand, funcția este integrand.
Semnificația geometrică a unui integral nedefinit. Geometric, integrala nedefinită reprezintă o familie de curbe integrale în avion, obținute prin translație paralelă a lungul graficului axei y (fig. 3).
Proprietățile de bază ale integrala nedeterminată
Proprietate 1. Derivatul unui integral nedeterminat este egal cu integrand:
Proprietatea 2. Diferența unui integral nedeterminat este egală cu integrarea:
Proprietatea 3. Integralul diferențialului unei funcții este egal cu această funcție plus const:
Proprietatea 4. Liniaritatea integrala.
Tabela de integrale de bază
Metode de bază pentru integrare
Integrarea directă este o metodă bazată pe utilizarea transformărilor identice ale integranței, precum și a proprietăților de bază ale integralelor nedefinite integrale și ale tabelelor. Următoarele transformări ale integrand sunt cel mai adesea folosite:
împărțirea numărătorului cu termenul de numitor pe termen;
aplicarea unor formule reduse de multiplicare;
aplicarea identităților trigonometrice.
Înlocuirea variabilei (metoda de substituție) - o metodă care cuprinde administrarea la o nouă variabilă, cu scopul de a transforma această integrantă din tabel. Cel mai adesea, această metodă este folosită dacă integrarand conține o funcție complexă, atunci argumentul său intermediar trebuie să fie desemnat ca o nouă variabilă, de exemplu. Apoi, trebuie să faceți următoarele:
găsiți diferența unei noi variabile;
notați integralul anterior, folosind doar variabila, în cazul în care substituția este făcută corect, atunci integrale rezultatul trebuie să fie tabular;
folosind tabelul integralelor, scrieți soluția pentru integrad;
Inversați înlocuirea prin înlocuirea variabilei.
Metoda de integrare prin părți este o metodă constând în utilizarea formulei:
Această metodă este utilizată în cazul în care integramentul este mai simplu de rezolvat decât. De regulă, această metodă rezolvă integralele formei, unde este un polinom și este una din următoarele funcții: ,,,,,,.
Luați în considerare o funcție definită pe interval, Fig. 4. Efectuați 5 operații.
1. Împărțim intervalul de puncte în mod arbitrar în părți. Să denotăm cea mai mare dintre lungimile acestor secțiuni parțiale cu d, vom numi rangul de fragmentare.
2. În fiecare secțiune parțială, luați un punct arbitrar și calculați valoarea funcției în ea.
3. Să compunem produsul
4. Vom compila suma. Această sumă se numește suma integrală sau suma Riemann.
5. Grind strivire (prin creșterea numărului de puncte de măcinare) și lăsarea în care gradul de strivire la zero () adică (Creșterea numărului de puncte de rectificat, ne asigurăm că scade și se apropie de zero, lungimea tuturor sub-regiuni), vom găsi limita unei secvențe de sume integrale
Dacă această limită există, ea nu depinde de metoda de fragmentare și de alegere a punctelor, se numește un integral definitiv al funcției pe interval și este notată ca :.
Semnificația geometrică a unui integral integrat. Să presupunem că funcția este continuă și pozitivă pe interval. Luați în considerare trapezoidul ABCD curbilinar (figura 4). Suma integrală ne dă suma ariilor de dreptunghiuri cu baze și înălțimi. Aceasta poate fi considerată ca fiind valoarea aproximativă a zonei trapezoidului curbilinear ABCD. și anume
Mai mult decât atât, această ecuație va fi cu atât mai precisă cu cât este mai mică fragmentarea, iar în limita ca n → + ∞ și λ → 0 primim:
Acesta este sensul geometric al unui integrat definit.
Proprietățile de bază ale unui integral integrat
Proprietate 1. Un integral integral cu limite egale este egal cu zero.
Proprietatea 2. Când limitele integrării sunt schimbate, semnalele integrale definite se semnalează celei opuse.
Proprietatea 3. Liniaritatea integrala.
Cu proprietatea 4. Pentru orice număr, dacă funcția este integrabilă pe fiecare dintre intervalele ,, (Figura 5), atunci:
Teorema. Dacă funcția este continuă în intervalul, integrala definită a acestei funcții într-un interval egal cu valoarea diferenței de orice primitivă a acestei funcții pe limitele superioare și inferioare de integrare, adică
Această formulă reduce determinarea anumitor integrale la determinarea integralelor nedeterminate. Diferența se numește creșterea increderii și este notată.
Să luăm în considerare modalitățile de bază ale calculului integral: schimbarea variabilelor (substituirea) și integrarea prin părți.
Înlocuirea (înlocuirea unei variabile) într-un anumit integral - este necesar să se efectueze următoarele acțiuni:
introduceți o nouă variabilă;
găsiți diferența unei noi variabile;
calculați noile valori ale limitelor de integrare:
notați integralul anterior, folosind doar variabila și limitele noi u;
folosind tabelul integralelor, scrieți soluția pentru integrarea rezultată;
folosind formula Newton-Leibniz, se calculează valoarea unui integral definitiv.
Notă. Atunci când se calculează anumite integrale prin substituire, nu este nevoie să reveniți la argumentul original.
2. Integrarea prin părți într-un integrat definit se reduce la aplicarea formulei:
Exemple de rezolvare a problemelor
Sarcina 1. Găsiți integritatea nedeterminată prin metoda integrării directe.
1. Folosind proprietatea unui integral indefinit, luăm ca un semn al integratului un factor constant. Apoi, efectuând transformări matematice elementare, reducem integrarea într-o formă de putere-lege:
Sarcina 2. Găsiți integralul nedefinit utilizând metoda de înlocuire variabilă.
1. Apoi facem o variație a variabilei. Integralul original are forma:
Astfel, am obținut un integral indefinit al unei forme tabulare: o funcție de putere. Folosind regula de a gasi un integrala indefinita a unei functii de putere, gasim:
Dacă facem o substituire inversă, primim răspunsul final:
Sarcina 3. Găsiți integralul nedefinit utilizând metoda de integrare prin părți.
1. Introducem următoarea notație:
Apoi, diferențiind prima expresie și integrând al doilea, obținem:
Acum înlocuind în formula metodei de integrare prin părți notația introdusă de noi și obținem:
Alocarea 4. Calculați un integral integral.
. Soluția. Prin formula Newton-Leibniz avem:
. Soluția. Prin formula Newton-Leibniz avem:
. Soluția. Pe baza proprietăților definiției integrale definite și a formulei Newton-Leibniz, obținem:
Sarcini pentru decizia independentă
Rezolvați integralele nesigure:
Programul educațional principal
4 Calculul integrat al funcțiilor unei variabile reale 9. Un integral nedeterminat. proprietăți. Integrarea principalelor clase de funcții. Un integral nedeterminat. Proprietățile integralei nedefinite. Tabelul de bază.
4 Integrator incert Funcția primitivă și integritatea nedeterminată. Proprietățile de bază ale unui integral nedefinit. Isoquanta Integral. Integrală curbă Sumă integrată - -. intelegere geometrică.
(ocupație de laborator și practică) 2 2. Primul. Inteligent integral 1. Primitiv. Nevoia integrală și proprietățile sale. Tabela de integrale de bază. Principalele metode de integrare: însumarea.
pregătire practică. și sensul său geometric. conceptul de bază al calculului integral este noțiunea de integritate nedeterminată. nedefinit integral • Proprietățile de bază ale integrala nedefinită • Utilizați tabelul de bază nedefinit.
legi fundamentale. Calculul integrat al unei funcții a unei variabile. Nevoia integrală și proprietățile sale. integral și sensul său geometric. Integralul. coordonate. Un integral și nedefinit. și exerciții practice. "Petrushko IM
Trimiteți-le prietenilor: