Fiecare persoană reprezintă ceea ce suprafața camerei, suprafața terenului, suprafața, care ar trebui să fie pictată. El înțelege, de asemenea, că dacă terenurile sunt aceleași, atunci zonele lor sunt egale; că suprafața apartamentului este formată din suprafața încăperilor și din zona celorlalte spații.
Această viziune obișnuită a zonei este utilizată atunci când este definită în geometrie, unde se vorbește despre zona unei figuri. Dar figurile geometrice sunt aranjate în moduri diferite și, prin urmare, atunci când vorbim despre zonă, o anumită clasă de figuri este evidențiată. De exemplu, ia în considerare aria unui poligon, o zonă arbitrară a unui plan figura, suprafața unui poliedru, și altele. În cursul nostru vom vorbi doar despre aria unui poligon, și o cifră plan arbitrar.
La fel ca și în analiza lungimii segmentului și unghiul, vom folosi termenul „constă din“, definind-după cum urmează: F este format figura (desenate) din figurile F1 și F2. Dacă este uniunea lor și nu au puncte comune comune.
În aceeași situație, putem spune că figura F este împărțită în figurile F1 și F2. De exemplu, despre figura F, prezentată în figura 2a, putem spune că constă din figurile F1 și F2. deoarece nu au puncte comune comune. Figurile F1 și F2 din figura 2, b au puncte interne comune, prin urmare nu se poate afirma că figura F constă din figurile F1 și F2. Dacă figura F constă din figurile F1 și F2. apoi scrie: F = F1 Å F2.
Definiție Aria unei cifre este o valoare pozitivă definită pentru fiecare figură, astfel încât: 1) cifrele egale au zone egale; 2) dacă cifra este formată din două părți, atunci suprafața sa este egală cu suma zonelor acestor părți.
Pentru a măsura suprafața unei cifre, trebuie să aveți o zonă a unității. De regulă, o astfel de unitate este zona unui pătrat cu o latură egală cu un singur segment. Suntem de acord să desemnem zona pătratului cu litera E și numărul obținut ca rezultat al măsurării suprafeței figurinei S (F). Acest număr este numit valoarea numerică a zonei din figura F pentru o unitate selectată din zona E. Trebuie să îndeplinească condițiile:
1. Numărul S (F) este pozitiv.
2. Dacă cifrele sunt egale, atunci valorile numerice ale zonelor lor sunt egale.
3. Dacă figura F constă din figurile F1 și F2. atunci valoarea numerică a zonei cifrei este egală cu suma valorilor numerice ale zonelor din figurile F1 și F2.
4. Atunci când o unitate de suprafață este înlocuită, valoarea numerică a zonei unei cifre F crește (scade) cu aceeași valoare ca noua unitate este mai mică (mai mare) decât cea veche.
5. Valoarea numerică a zonei unității pătrate este considerată a fi 1, adică S (F) = 1.
6. Dacă figura F1 face parte din figura F2. atunci valoarea numerică a zonei din figura F1 nu este mai mare decât valoarea numerică a zonei formei F2. și anume F1 Ì F2 Þ S (F1) ≤ S (F2).
În geometrie, se demonstrează că pentru poligoane și figuri planare arbitrare un astfel de număr există întotdeauna și este unic pentru fiecare figură.
Figurile în care zonele sunt egale sunt numite egale.
Formulele pentru calcularea suprafeței dreptunghiului, triunghiului, paralelogramului au fost derivate cu mult timp în urmă. În geometrie, ele sunt justificate pe baza determinării zonei, în timp ce valoarea numerică a zonei este denumită zonă, iar valoarea numerică a lungimii segmentului este lungimea.
Teorema: aria unui dreptunghi este egală cu produsul lungimilor laturilor sale vecine.
Rețineți că cuvântul "zonă" din această formulă înseamnă valoarea numerică a zonei și cuvântul "lungime" - valoarea numerică a lungimii segmentului.
Dovada. Dacă F este un dreptunghi dat și numerele a, b sunt lungimile laturilor sale, atunci S (F) = a # 8729; b. Să dovedim asta.
Fie a și b numere naturale. Atunci, dreptunghiul F poate fi descompus în pătrate unitare (Figura 3): F = E Å E Å E Å. Å E. Numărul lor total a # 8729; b, deoarece avem b rânduri, în fiecare dintre care există un pătrate. Prin urmare, S (F) = S (E) + S (E) + ... + S (E) = a # 8729; b # 8729; S (E) = a # 8729; b
Dovada. Fie ABCD o paralelogramă care nu este un dreptunghi (figura 4). Punem perpendicularul CE de la punctul C pe linia AD. Apoi S (ABCE) = S (ABCD) + S (CDE).
Lasăm BF perpendiculară de la vârful B pe linia AD. Apoi S (ABCE) = S (BCEF) + S (ABF).
Deoarece triunghiurile ABF și CDE sunt egale, zonele lor sunt de asemenea egale.
Prin urmare, rezultă că S (ABCD) = S (BCEF), adică aria paralelogramului ABCD este egală cu aria dreptunghiului BCEF și este egală cu BC # 8729; BF, iar din anul BC = AD, apoi S (ABCD) = AD # 8729; BF.
Din această teoremă rezultă o consecință: suprafața unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale de către înălțimea sa.
Rețineți că cuvintele "lateral" și "înălțime" din aceste instrucțiuni denotă valorile numerice ale lungimilor segmentelor corespunzătoare.
Teorema: aria unui poligon obișnuit este egală cu jumătate din produsul perimetrului său de raza cercului înscris.
Dacă perimetrul unui poligon obișnuit este notat cu litera P, raza cercului înscris este r, iar aria poligonului regulat este S, atunci, conform acestei teoreme, S = P # 8729; r.
Dovada. Împărțim n-gonul obișnuit în triunghiuri n, legând nodurile de n-gon cu centrul cercului înscris de segmente (figura 5). acestea
Triunghiurile sunt egale. Zona fiecăruia este R, unde a este partea n-gonului obișnuit. Apoi zona poligonului este # 8729; r # 8729; n, dar un an # 8729; n = P. Prin urmare, S =
Dacă F este un poligon arbitrar, atunci suprafața sa este găsită prin împărțirea poligonului în triunghiuri (sau alte figuri pentru care sunt cunoscute regulile de calcul a ariei). În acest context, se pune întrebarea: în cazul în care același poligon este împărțit în diferite părți și pentru a găsi zona lor, indiferent dacă a primit, sume de pătrate ale unui poligon la fel? Se demonstrează că, prin condițiile formulate în definiția zonei, aria fiecărui poligon este determinată în mod unic.
Pe lângă egalitatea și uniformitatea cifrelor din geometrie, este luată în considerare raportul de echivalență. Proprietățile importante ale cifrelor sunt asociate cu ele.
Poligoanele F1 și F2 sunt considerate egocodepozabile dacă pot fi împărțite în părți corespunzătoare în mod egal.
De exemplu, paralelogram ABCD și FBCE dreptunghi sunt echidistante (Figura 4), deoarece paralelograma constă din figurile F1 și F2. și dreptunghi - din figurile F2 și F3. unde F1 = F3.
Este ușor de observat că cifrele echiducabile sunt la fel de mari.
matematician maghiar F.Boyyai și german P.Gervinom iubitor de mate-Matic dovedit a fi o teoremă: oricare două poligoane egale echipam. Cu alte cuvinte, dacă două poligoane au zone egale, atunci ele pot fi reprezentate întotdeauna ca fiind constituite din părți egale.
Teorema lui Boyay-Gervin servește drept bază teoretică pentru rezolvarea problemelor privind remodelarea figurilor: una este tăiată în părți și cealaltă este împăturită din ea. Se pare că, dacă cifrele sunt poligonale și au aceeași suprafață, atunci problema este în mod necesar rezolvabilă.
5. Zona unei figuri arbitrare și măsurarea acesteia
Am aflat că calculul zonei unui poligon reduce în esență la calcularea ariilor de triunghiuri în care acest poligon poate fi împărțit. Și cum să găsiți zona unei figuri arbitrare? Și care este numărul care exprimă această zonă?
Fie F o figură arbitrară plană. În geometrie, se presupune că are o suprafață S (F) dacă sunt îndeplinite următoarele condiții; există figuri poligonale care conțin F (pe care noi le numim enveloping); există figuri poligonale care sunt cuprinse în F (noi le numim sosite); Zonele acestor cifre poligonale variază cât mai puțin de dvs. de la S (F). Să explicăm aceste dispoziții. Figura 7 arată că figura Q conține o figură P, adică Q, este o figură înfășurată, iar figura P este conținută în F, adică P este o figură primită. În limbajul teoretic, acest lucru înseamnă că și, în consecință, este posibil să notăm acest lucru.
În cazul în care diferența în spațiul ambiental și formele de intrare pot fi arbitrar mici, apoi, după cum se menționează în matematică, există un număr unic de S (F), satisface inegalitatea pentru orice forme poligonale P și Q. Acest număr și pentru a găsi zona figura F.
Aceste propoziții teoretice sunt folosite, de exemplu, atunci când se deduce formula zonei unui cerc. Pentru a face acest lucru într-un cerc cu raza r F vpisy vayut gon-dreapta n-P și cercului corect Q.-gon n Dacă notăm simbolurile S (Q) și S (P) din zona poligonului, vom avea asta. în care odată cu creșterea numărului de laturi inscriptionare circumscrisă multi-gons zona S (P) va crește, în timp ce restul de mai puțin decât suprafața unui cerc, iar aria S (Q) va scădea, dar rămân suprafață mai mare a cercului.
Zona n-gonului obișnuit este egală cu jumătate din produsul perimetrului său de raza cercului înscris. Pe măsură ce crește numărul laturilor sale, perimetrul tinde spre circumferință. și zona în zona cercului. Prin urmare, Scr = r 2.
Pentru o măsurare aproximativă a suprafețelor de figuri plate, este posibil să se utilizeze diverse dispozitive, în special un palet.
Un palet este o placă transparentă pe care se aplică o rețea de pătrate. Partea din pătrat este considerată a fi 1, iar cu cât este mai mică această parte, cu atât mai precis puteți măsura aria figurii.
Am impus un palet pe figura dată F. Pătraturile care se află în întregime în interiorul figurii F formează o figură poligonală P; Pătraturile care au puncte comune cu figura F și care se află în întregime în interiorul figurii F formează o figură poligonală Q (figura 8). Pătraturile S (P) și S (Q) se găsesc prin simpla calculare a pătratelor. Pentru valoarea aproximată a zonei din figura F, media aritmetică a zonelor găsite este:
În cursul inițial al matematicii, elevii măsoară suprafața figurilor cu ajutorul paleților în acest fel: numără numărul de pătrate care se află în interiorul figurii F și numărul de pătrate prin care trece conturul figurinei; atunci al doilea număr este împărțit în jumătate și adăugat la primul. Suma primită este considerată aria figurinei F.
Nu este dificil să justifice aceste acțiuni. Fie m numărul de pătrate care se potrivesc în interiorul figurii F și n numărul de pătrate prin care trece conturul figurului F. Atunci S (P) = m și S (Q) = m + n.
Paleta vă permite să măsurați aria figurinei F cu o anumită precizie. Pentru a obține un rezultat mai precis, trebuie să faceți un palet cu pătrate mai mici. Dar puteți face altfel: să impună același mozaic pe figura diferit și pentru a găsi unele cifre aproximative F. valori medii ale lor pătrate poate fi o mai bună aproximare la valoarea numerică a ariei figurii F.
Articole similare
-
Câini de măsurare, rase de bază, conceptul de anatomie și fiziologie, creșterea câinilor, consiliere
Trimiteți-le prietenilor: