Lăsați câmpul scalar U = f (x, y, z). Gradientul câmpului scalar U = f (x, y, z) în punctul M (x, y, z) este vectorul
Dacă funcția U = f (x, y, z) are derivate parțiale U'x. U'y. U'z la fiecare punct al unei regiuni, atunci câmpul scalar generează în această regiune un câmp vectorial. Transformăm formula pentru calculul derivatului direcțional:
Unghiul dintre vectori și denota cu φ. atunci produsul scalar este egal.
Prin urmare: adică derivatul funcției scalare U = f (x, y, z) în punctul M în direcția vectorului este egal cu proiecția pe direcția vectorului
Rezultă din (3.27) că atunci când direcția vectorului coincide cu direcția vectorului, derivatul de-a lungul direcției are cea mai mare valoare, adică vectorul calculat la punctul M. arată direcția celei mai mari creșteri a câmpului scalar, iar rata de creștere este
În direcția perpendiculară pe direcție, după cum urmează din formula (3.27), adică în această direcție câmpul nu se schimbă de la punctul M.
Reamintim că dacă suprafața este dată de ecuația F (x, y, z) = 0, suprafața normală la suprafața punctului M0 (x0, y0, z0) poate fi dată de ecuația:
Acum pentru funcția scalară U = f (x, y, z) construim suprafețele de nivel f (x, y, z) = C. atunci ecuația normală la suprafața plană la punctul M0 (x0, y0, z0) este scrisă:
și anume are un vector de direcție
Prin urmare, vectorul este un vector perpendicular pe suprafața de nivel a funcției U = f (x, y, z).
Trimiteți-le prietenilor: