Grupul cristalografic

Teorema lui Bieberbach

Două grupuri cristalografice sunt considerate echivalente dacă sunt conjugate în grupul transformărilor afinice ale spațiului euclidian.







  1. orice n-dimensională cristalografică \ Gamma conţine n traduceri paralele independente liniar; grup G părțile liniare ale transformărilor (adică imaginea \ Gamma în GL_n) este finit.
  2. Două grupuri cristalografice sunt echivalente dacă și numai dacă sunt izomorfe ca grupuri abstracte.
  3. Pentru oricine n există doar un număr finit n-dimensiuni cristalografice considerate până la echivalență (care este soluția celei de-a 18-a probleme a lui Hilbert).

Teorema ne permite să oferim următoarea descriere a structurii grupurilor cristalografice ca grupuri abstracte: Let L Setul de traduceri paralele aparținând grupului cristalografic \ Gamma. atunci L Este un subgrup normal al indexului finit izomorf \ Z ^ n și coincide cu centralizatorul său \ Gamma. Prezența unui astfel de subgrup normal într-un grup abstract \ Gamma este, de asemenea, o condiție suficientă pentru grup \ Gamma a fost izomorf cu grupul cristalografic.

Grupul G liniare ale grupului cristalografic \ Gamma păstrează grătarul L; cu alte cuvinte, în baza zăbrelelor L transformări de la G sunt scrise prin matrice întregi.

Numărul de grupuri

Numărul de grupuri cristalografice n-spațiu dimensional cu sau fără orientare este dat de secvențele A004029 și A006227. Până la echivalență, există

  • 17 grupuri cristalografice plate [1]
  • 219 grupuri cristalografice spațiale;
    • dacă luăm în considerare grupurile spațiale până la conjugare prin intermediul transformărilor afinice care păstrează orientarea. atunci vor fi 230 dintre ei.
  • În dimensiunea 4 există 4894 de grupuri cristalografice cu conservarea orientării sau 4783 fără conservarea orientării [2] [3].

Simetrie posibilă

Elemente punctuale

Elemente de simetrie a cifrelor finite care lasă cel puțin un punct fix.

Toate combinațiile posibile de elemente de simetrie punct conduc la 10 grupuri simetrice de simetrie în spațiu bidimensional și 32 de grupe de puncte în spațiu tridimensional.

În spațiul 4-dimensional există un nou tip de elemente de simetrie - rotații duble în două planuri absolut perpendiculare. Din acest motiv, numărul elementelor de simetrie compatibile cu simetria de translație crește. Pentru spațiile de dimensiune 4 și 5 sunt posibile în punctele de cristal de simetrie cu ordinele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 și 12. Mai mult, întrucât rotația fiecărei planele absolut perpendiculare pot fi stabilite în direcții diferite, acolo pereche enantiomorphous de elemente de simetrie punctiforme (de exemplu, dublu rotație al patrulea ordin, care sunt combinate transformă 90 ° în primul plan și 90 ° într-un al doilea plan de rotație enantiomerică dublu de ordinul al patrulea, în care spirele sunt combinate la 90 ° într-un prim plan și la -90 ° în a doua) . Toate combinațiile posibile ale elementelor punct de simetrie în spațiul cu patru dimensiuni 227 conduce la grupuri de puncte 4-dimensionale, dintre care 44 sunt enantiomorphous (adică, în total 271 transformă grupul de simetrie punct).

spațiile 7-dimensionale din cristal 6-dimensional și pot fi elemente de simetrie puncte cu comenzile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 și 30 . [5] A se vedea și: Teorema restricționării cristalografice

transmisiunile

În grupurile cristalografice există întotdeauna traduceri - transferuri paralele. cu o schimbare la care structura cristalină se va potrivi singură. Simetria translațională a unui cristal este caracterizată de grâul Bravais. În cazul tridimensional, sunt posibile doar 14 tipuri de Bravais. În dimensiunile 4, 5 și 6, numărul de tipuri de zăbrele Bravais este de 64, 189 și respectiv 841 [6]. Din punctul de vedere al teoriei grupului, grupul de traducere este un subgrup abelian normal al grupului spațial, iar grupul spațial este o extensie a subgrupului său de traduceri. Grupul de factor al grupului spațial din subgrupul de traduceri este unul din grupurile de puncte.

Operațiuni de simetrie complexe

Rotații în jurul axelor cu transfer simultan către un vector în direcția acestei axe (axa elicoidală) și reflexie față de planul cu deplasarea simultană către un vector paralel cu acest plan (planul de reflexie alunecare). În simbolismul internațional, axele elicoidale sunt notate cu cifra axei rotative corespunzătoare cu un indice care caracterizează magnitudinea transferului de-a lungul axei cu rotație simultană. Posibile axe elicoidale în cazul 3-dimensional: 21 (rotație cu 180 ° și translație cu 1/2 translație), 31 (rotație cu 120 ° și deplasare cu 1/3 din traducere), 32 (rotație cu 120 ° și deplasare cu 2 / (Rotație 90 ° și schimbare de translație 1/4), 42 (rotație 90 ° și schimbare de translație 1/2), 43 (rotație 90 ° și trecere de translație 3/4), 61 62. 63. 64. 65 (rotiți cu 60 ° și schimbați cu 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, respectiv 5/6 din traducere). Axele 32, 43, 64 și 65 sunt enantiomorfe față de axele 31. 41, 62 și, respectiv, 61. Se datorează acestor axe că există 11 perechi enantiomorfe de grupuri spațiale - în fiecare pereche un grup este o imagine oglindă a celuilalt.







Planurile de reflexie a alunecării sunt desemnate ca o funcție a direcției de alunecare în raport cu axele celulei cristaline. Dacă alunecarea apare de-a lungul uneia dintre axe, atunci planul este notat cu litera latină a. b sau c. În acest caz, alunecarea este întotdeauna egală cu jumătate din traducere. Dacă alunecarea este direcționat de-a lungul diagonalei feței sau corpului diagonală al celulei, planul este notat cu n în cazul egal simplu jumătate diagonală sau d în cazul de alunecare este un sfert din diagonală (acest lucru este posibil numai în cazul în diagonală centrat). Planurile n și d sunt de asemenea numite clinoplanuri. d numite uneori avioane plane de diamant, deoarece acestea sunt prezente în structura de diamant (Engl diamant -. diamant).

denumiri

Cristalografică (spațială) a grupului, cu toate elemenatami simetrie inerente cuprinse în directorul internațional „tabele cristalografice International“ (eng. International Tables pentru Cristalografie), produs de Uniunea Internațională de Cristalografie. Utilizarea numerotării din acest manual este acceptată. Grupurile sunt numerotate de la 1 la 230 în ordinea cresterii simetriei.

Simbolismul lui Herman-Mogen

Simbolul grup spațial cuprinde un simbol al grilajului Bravais (majuscule litera P, A, B, C, I, R sau F) și grupul internațional punctul simbol. Simbolul Bravais zăbrele indică prezența nodurilor de emisie suplimentar din interiorul celulei unitate: P (primitiv) - celula primitivă; A, B, C (A-centrat, B-centrat, C-centrat) - un nod suplimentar în centrul feței A, B sau C, respectiv; I (I-centrat) - body- (nod suplimentar în centrul celulei), R (centrata R) - de două ori body- (două noduri suplimentare pe diagonala principală a celulei unitate), F (F-centrat) - (centrată pe față mai multe noduri la centrele tuturor se confruntă).

grup internațional punct simbol în cazul general este format din trei simboluri care indică elementele de simetrie corespunzătoare celor trei direcții principale în celula de cristal. Prin element de simetrie care corespunde direcției, se referă fie la o axă de simetrie care se extinde în direcția sau perpendicular pe un plan de simetrie sau ambele, și alta (în acest caz, ele sunt înregistrate printr-o fracțiune, de exemplu, 2 / c - o axă de simetrie de ordinul 2 și perpendicular pe acesta planul de reflexie alunecare cu o deplasare în direcția c). Sub principalele linii de înțelegere:

  • direcțiile vectorilor bazei de celule în cazul syngoniei triclinice, monoclinice și rombice;
  • direcția celei de a patra axe, direcția unuia dintre vectorii de bază de la baza celulei unității și direcția diagonală a bazei celulare în cazul sistemului tetragonal;
  • direcția axei celei de a 3-ordinul sau 6 ordine, direcția unuia dintre vectorii de bază în baza celulei unitate și direcția vectorului celulei unitate diagonală, la un unghi de 60 ° față de cel anterior, în cazul unui sistem hexagonal (aici sunt incluse, de asemenea, sistemul de cristal trigonal, care în acest caz este la orientarea hexagonală a celulei unice);
  • direcția unuia dintre vectorii de bază, direcția de-a lungul diagonalei spațiale a celulei unității și direcția de-a lungul bisectorului a unghiului dintre vectorii de bază.

Simbolurile Herman-Mogen sunt de obicei abreviate, eliminând simbolurile elementelor de simetrie lipsă în direcții separate, atunci când acest lucru nu creează ambiguități, de exemplu, scrieți P4 în loc de P411. De asemenea, în absența unor simboluri ambigue este coborât axe duble care nu sunt perpendiculare pe planul de simetrie, de exemplu, înlocuiește C \ tfrac \ tfrac \ tfrac pe CMMM.

Simbolul Schönflies

Simbolul Schönflies stabilește clasa de simetrie (caracterul principal și indicele) și numărul grupului condițional din cadrul acestei clase (superscript).

  • Cn - grupurile ciclice - grupuri cu o singură direcție specială reprezentată de o axă rotativă de simetrie - sunt notate cu litera C. cu indicele numeric inferior n. corespunzătoare ordinii acestei axe.
  • Grupurile Cni cu o singură axă de inversare a simetriei sunt însoțite de un indice i.
  • Cnv (de la verticală la verticală) are de asemenea un plan de simetrie situat pe o singură axă sau o axă principală de simetrie, care este întotdeauna considerată drept una verticală.
  • Cnh (din acesta orizontal - orizontal) - are de asemenea un plan de simetrie, perpendicular pe axa principală a simetriei.
  • S2. S4. S6 (din germană Spiegel. - O oglindă) - grupuri cu o singură axă de simetrie în oglindă.
  • Cs - pentru un plan de orientare nedefinită, adică nu este fixat datorită absenței altor elemente de simetrie în grup.
  • Dn - este un grup de Cn cu axe n suplimentare de simetrie de ordinul doi perpendicular pe axa inițială.
  • Dnh - are de asemenea un plan orizontal de simetrie.
  • Dnd (de la diagonală la diagonală) are de asemenea planuri diagonale verticale de simetrie care rulează între axele de simetrie din ordinul doi.
  • O, T - grupe de simetrie cu mai multe axe de ordin superior - grupuri de sisteme cubice. Indicați cu litera O în cazul în care conțin un set complet de axe de simetrie a octaedrului sau litera T, dacă acestea conțin un set complet de axe de simetrie ale tetraedrului.
  • Oh și Th conțin și un plan orizontal de simetrie
  • Td - conține, de asemenea, un plan diagonal de simetrie

n poate fi egal cu 1, 2, 3, 4, 6.

Originea teoriei grupurilor cristalografice este legată de studiul simetriei ornamentelor (n = 2) și structuri de cristal (n = 3). Clasificarea tuturor planar (bidimensionale) (tridimensionale) grupări cristalografice și spațiale independent Fedorov a fost primit (1885), Schoenflies (1891) și Barlow (1894). Principalele rezultate ale grupurilor cristalografice multidimensionale au fost obținute de Bieberbach [8].

notițe

literatură







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: