Filtrele liniare optime sunt utilizate pe scară largă pentru detectarea și discriminarea semnalelor deterministe, în care caracteristicile criteriului optimality acestor filtre este de a obține la ieșirea filtrului posibila raportul maxim al valorii semnalului de vârf la valoarea efectivă a zgomotului. Scopul tratamentului, astfel, nu se reproduce forme de undă care se presupune cunoscută și în fixarea mai fiabile decât prezența sau absența în leagăn semnalului recepționat.
Să găsim expresia pentru răspunsul complex de frecvență al filtrului optim [5]. Să presupunem că de intrare filtru liniar cu răspuns complex de frecvență K (w j) afectează valoarea pe deplin cunoscut semnalului s (t) și zgomot n (t), care este un proces stocastic staționar-un sens larg, cu o densitate spectrală cunoscută Sn (w) [4]:
Semnăm semnalul util și interferența la ieșirea filtrului prin sB (t) și nB (t). Se știe că dacă intrarea unui sistem liniar cu un răspuns complex de frecvență K (jw) este afectată de un semnal s (t) având un spectru de amplitudine complex
atunci spectrul complex al semnalului la ieșirea sistemului este determinat de produsul Φ (jw) K (jw), iar semnalul de ieșire - de expresia
Densitatea spectrală a zgomotului la ieșirea filtrului este determinată de expresia Sn () | K (j) | 2. și varianța acesteia
Pe baza formulelor (1.1) și (1.2) obținem o expresie pentru raportul semnal-zgomot în putere la ieșirea filtrului la un anumit timp t0:
Este necesar să găsim o funcție K (j) pentru care expresia (1.3) atinge un maxim la un moment dat t0. O modalitate de a rezolva această problemă este de a folosi inegalitatea Schwarz-Bunyakovskii. Se știe că pentru două funcții complexe arbitrare f (x) și g (x)
iar egalitatea este valabilă numai în cazul în care g (x) = c0f (x), unde c0 este o constantă; f * (x) este o funcție conjugată complexă f (x).
Vom scrie expresia (1.4) prin accesarea variabilei. sub formă de
Prin urmare, rezultă că valoarea maximă posibilă a raportului semnal-zgomot
Conform punctului (1.5), această valoare este atinsă numai dacă este condiționată
unde c este constantă; t0 este momentul de timp corespunzător celui mai mare raport semnal-zgomot la ieșirea filtrului. Astfel, răspunsul în frecvență complexă a filtrului liniar optimă este dată de (1.8) și cel mai mare semnal la zgomot - ecuația (1.7). Spectrul semnalului Varierea F (j) și Sn interferenței () în formula (1.7) pot, în anumite condiții suplimentare (de exemplu, energie constantă sau puterea semnalului, etc.), Impuse sistemul pentru a găsi cea mai bună formă a spectrului semnalului (care maximizează Q ) și cea mai slabă densitate spectrală de interferență (la care Q este minimizat).
În unele dispozitive, de exemplu, angajații pentru a determina momentul apariției unui impuls, se folosesc filtre care trebuie să asigure faptul că este aplicat raportul maxim posibil al abrupței semnalului la valoarea efectivă a interferenței. Astfel de filtre pot fi numite optime în abrupta semnalului. Pentru a determina răspunsul complex al frecvenței unui astfel de filtru, trebuie să luăm în considerare derivatul său de timp în locul semnalului s (t). În această caracteristică complex filtru de frecventa, semnal optim panta determinată prin expresia
unde Φ1 * (jw) este valoarea conjugată complexă a spectrului derivatului semnalului de intrare; c1 este o constantă. Raportul maxim posibil al înclinării semnalului la valoarea rădăcină medie-pătrată a interferenței va fi
Folosind relația cunoscută pentru transformarea Fourier a derivatului semnalului:
Până în prezent nu au fost impuse restricții asupra interferenței n (t), cu excepția staționarei în sens larg. Să analizăm acum interferența sub forma unui zgomot alb Gaussian. Un filtru liniar, la ieșirea căruia se obține valoarea maximă maximă posibilă a raportului de semnal-zgomot atunci când un semnal complet cunoscut este primit pe fundalul unui zgomot alb Gaussian, se numește filtru corespunzător. Să găsim expresia pentru răspunsul complex de frecvență al filtrului potrivit. În acest scop, am stabilit apoi expresiile (1.7) și (1.8) să ia forma corespunzătoare:
unde k este o constantă care caracterizează coeficientul de transmisie al filtrului; Es - energia semnalului:
Să scriem spectrul semnalului de intrare și răspunsul complex al frecvenței filtrului în formă
Aici, js (w) este spectrul de fază al semnalului, iar j (w) este caracteristica de fază a frecvenței filtrului.
Apoi expresiile pentru caracteristicile amplitudinii și frecvenței de fază ale filtrului corespunzător vor avea forma
Se observă că caracteristica amplitudine-frecvență (AFC) a filtrului potrivire este proporțională cu amplitudinea spectrului semnalului de intrare (AFC „potrivire“ filtru cu spectrul de semnal) și faza de frecvență caracteristică (PFC), egală cu suma spectrului fazei de frecvență a semnalului luat cu semn opus, iar spectrul de întârziere de fază ( - wt0).
frecventa de raspuns coincidența filtru pentru a forma un spectru de semnal de amplitudine oferă cea mai bună selecție dintre cele mai intense ale spectrului semnalului. Filtrul atenuează porțiunile din spectru cu un nivel relativ scăzut al componentelor spectrale; în caz contrar, împreună cu ei, ar exista un zgomot intens. Forma semnalului de la ieșirea filtrului este distorsionată. Totuși, acest lucru nu este semnificativ, deoarece sarcina filtrului în acest caz nu este de a reproduce cu precizie semnalul de intrare, ci de a forma cel mai mare vârf al semnalului de ieșire față de fondul de zgomot. Un rol esențial în acest sens îl joacă caracteristica de fază a frecvenței filtrului j (w).
Înlocuind expresia (1.9) în formula (1.1), obținem o expresie pentru semnalul util la ieșirea filtrului corespunzător:
Prin urmare, se observă că semnalul de la ieșirea filtrului este determinat numai de spectrul de amplitudine al semnalului de intrare și nu depinde de spectrul său de fază. Aceasta din urmă se datorează faptului că schimbările de fază reciprocă ale componentelor spectrale ale semnalului de intrare js (w) sunt compensate de filtrul PFC. Prin urmare, toate componentele armonice ating simultan valorile amplitudinii la momentul t = t0 și, plierea, dau vârful semnalului de ieșire:
Dacă filtrul filtrului nu a compensat deplasările de fază ale componentelor spectrale ale semnalului de intrare, atunci maximul componentelor armonice nu ar coincide în timp, ceea ce ar duce la o scădere sau fragmentare a vârfului semnalului de ieșire.
Trebuie remarcat faptul că un filtru corespunzător (1.9) poate fi de asemenea utilizat atunci când se recepționează un semnal complet cunoscut pe fundalul unui zgomot staționar cu o densitate spectrală arbitrară Sn (w). Pentru a face acest lucru, este suficient de formal să sări peste oscilația primită x (t) printr-un filtru linear suplimentar, care transformă interferența n (t) în zgomot alb. Filtrul filtrului poate fi orice, iar răspunsul unui astfel de filtru "albire" suplimentar trebuie să aibă forma
La ieșirea filtrului obelichny, zgomotul devine zgomot alb cu o densitate spectrală constantă, iar spectrul complex de semnale va fi
După aceasta, puteți utiliza formulele obținute mai devreme. Conform expresiei (1.9), răspunsul de frecvență complex al filtrului corespunzător corespunzător
Filtrul optim este o conexiune serială a două filtre: un filtru promițător și consistent. Răspunsul său complex de frecvență coincide în mod natural cu relația (1.8).
Utilizarea permisă libertatea de alegere a caracteristicilor fazei de albire filtru, puteți încerca să-l selectați, astfel încât filtrul optim este realizabilă fizic. Dacă Densitatea spectrală a zgomotului Sn (w) poate fi aproximată printr-o funcție rațională a frecvenței (în practică, fără pierderi de generalitate), pentru a obține filtru liniar optim realizabilă fizic se utilizează descompunerea Sn (w) de factorii complecși de conjugat. Să luăm în considerare un exemplu.
Să interferență zgomot Gaussian cu densitate spectrală Sn (w) = 2AD / (a + 2 w 2), unde D - varianța zgomotului. Apoi, conform formulei (1.10), avem
Astfel, obținem două versiuni echivalente ale filtrelor obelichnyh:
Să găsim răspunsul impuls al filtrului potrivit:
Având în vedere expresia pentru semnalul de intrare
În consecință, răspunsul la impuls al filtrului corespunzător este în întregime determinat de forma de undă ("potrivită" cu semnalul). În Fig. 1.1 prezintă un semnal de impuls s (t) de durată u. care a apărut la momentul t = 0.
Este evident că funcția s (t0 + t) apare pentru un timp t0 mai devreme decât semnalul s (t). Funcția s (t0-t) este o imagine în oglindă a funcției s (t0 + t) față de axa ordinii. Înmulțirea funcției s (t0-t) cu coeficientul k. obținem răspunsul impuls al filtrului corespunzător.
Trimiteți-le prietenilor: