Eseu pe tema:
-
introducere
- 1 Informații preliminare
- 1.1 Estimarea parametrilor sistemului
- 1.2 Matrice experimentală
- 1.3 Soluția sistemului
- 1.4 Revenirea la factori nestandardi
- 2 Experimentul complet factorial
- 2.1. Matricea PFE în forma sa generală
- 2.2 Proprietățile matricei PFE
- 2.3 Calcularea coeficienților modelului liniar
- 2.4 Transformarea factorilor naturali în normalizate și înapoiate
Experimentul full factorial (FPE) este un set de mai multe măsurători care îndeplinesc următoarele condiții:
- Numărul măsurătorilor este de 2 n. unde n este numărul de factori;
- Fiecare factor ia doar două valori - superioară și inferioară;
- În timpul măsurării, valorile superioare și inferioare ale factorilor sunt combinate în toate combinațiile posibile.
Avantajele unui experiment full factorial sunt
- simplitatea soluționării sistemului de ecuații pentru estimarea parametrilor;
- redundanța statistică a numărului de măsurători, care reduce influența erorilor măsurărilor individuale asupra estimării parametrilor.
1. Informații preliminare
Aproximarea unei funcții neliniare a două variabile de către un plan
1.1. Estimarea parametrilor sistemului
În activitățile practice este adesea necesar să se evalueze parametrii unui anumit sistem, adică să se construiască modelul său matematic și să se găsească valorile numerice ale parametrilor acestui model. Ca date inițiale pentru construirea modelului, se folosesc rezultatele experimentului, care este o colecție de mai multe măsurători făcute conform unui anumit plan. În cel mai simplu caz, planul este o descriere a condițiilor de măsurare, adică valorile parametrilor de intrare (factori) în timpul măsurării.
Ca un exemplu al sistemelor a căror evaluare a parametrilor este relevantă din punct de vedere practic, pot servi diverse procese tehnologice. Pentru a ilustra, să analizăm procesul de fotolitografie.
Fotolitografia este aplicarea unei imagini pe suprafață printr-o metodă fotografică. Se compune din următoarele etape: pregătirea suprafeței, acoperirea cu emulsii fotosensibile (fotorezistiv), uscare, stabilind un șablon sau o placă de model negativ, expunerea (supraexpuse) cu raze ultraviolete, gravare (dezvoltare). Ca labirintul tehnologice fotolitografie în acest context, nu este important, deoarece factorii principali care afectează procesul de litografiere, presupunem fotosensibil cu grosimea emulsiei d (în microni) și timpul de expunere t (în secunde). Parametrul de ieșire (răspuns) al procesului va fi rezoluția R. Aceasta înseamnă numărul maxim de linii care pot fi desenate pe un milimetru de suprafață. Această valoare este determinată prin aplicarea unei imagini speciale de testare la suprafață.
Astfel, procesul tehnologic de fotolitografie este descris de o anumită funcție a formei
Construirea unui model al procesului tehnologic vă permite să identificați comportamentul răspunsului sistemului în funcție de factorii în schimbare și să găsiți astfel modalități de optimizare a tehnologiei. În acest caz special, alegeți grosimea emulsiei și timpul de expunere care să asigure cea mai bună calitate a imaginii.
În cazul general, răspunsul sistemului este descris de o anumită funcție a n variabilelor
Modelul matematic al sistemului este obținut ca urmare a apropierii acestei funcții de o altă funcție, de exemplu liniară
Figura prezintă grafic procesul de construire a procesului liniar fotolitografie model unde x1 - grosimea emulsiei de film, x2 - timpul de expunere, y - rezoluția obținută în aceste condiții. Funcția y = f (x1, x2) este non-linear, dar în apropierea suficientă pentru punctul A0 său poate fi înlocuit cu un plan tangent y = a0 + a1x1 + a2x2. În regiunea prezentată în figură, eroarea maximă a modelului este Δy.
Cunoașterea coeficienților modelului a0, a1, a2. putem prezice valoarea funcției (și, prin urmare, comportamentul sistemului) cu o anumită precizie în cartierele punctului A0. La determinarea valorilor coeficienților a0, a1, a2, scopul experimentului este unul.
1.2. Matricea experimentală
Localizarea punctelor experimentale în spațiul factorial bidimensional
Să presupunem că parametrii inițiali ai procesului tehnologic sunt: grosimea filmului de 55 microni, timpul de expunere de 30 secunde, adică
Să luăm valorile superioare și inferioare ale ambilor factori, astfel încât să fie poziționați simetric față de valoarea curentă, de exemplu
Să compilați un tabel în care valorile ambilor factori sunt în toate combinațiile posibile și să efectuați măsurători în aceste puncte (valorile răspunsului sunt date condiționat):
Presupunând că modelul linear al procesului are forma
pe baza rezultatelor obținute, este posibil să se construiască un sistem de patru ecuații cu două variabile. Mai jos este prezentat acest sistem, precum și înregistrarea sa scurtată sub forma unei matrice. O matrice de acest tip este numită matricea experimentală.
In matricea experimentului a doua și a treia coloană reprezintă valorile factorilor, coloana a patra - valorile răspunsului sistemului și prima coloană conține unități corespunzătoare raporturilor unitare de liber a0 membru model. Vom considera această coloană ca fiind un factor virtual x0. care are mereu valori unice.
1.3. Soluția sistemului
Tranziția la coordonatele normalizate
Pentru a facilita rezolvarea sistemului, vom efectua normalizarea factorilor. Valorile superioare ale factorilor vor fi atribuite valorii normalizate +1, valorile inferioare - valoarea normalizată -1, valoarea medie - valoarea normalizată 0. În general, normalizarea factorului este exprimată prin formula
Luând în considerare normalizarea factorilor, sistemul de ecuații și matricea experimentului va avea următoarea formă:
Deoarece suma termenilor din coloanele a doua și a treia a matricei este zero, membrul liber al modelului poate fi găsit adăugând toate cele patru ecuații:
Pentru a găsi un alt coeficient al modelului, trebuie să modificați semnele în ecuații astfel încât în coloana corespunzătoare să existe o singură unitate și apoi să adăugați toate cele patru ecuații:
Astfel, modelul linear al procesului tehnologic în vecinătatea punctului (55, 30) are forma
În general, soluția sistemului va arăta
1.4. Reveniți la factori non-standard
Tranziția de la factori normali la normali este realizată prin transformarea inversă
Pentru a găsi parametrii modelului pentru coordonate nestandardizate, înlocuiți expresiile pentru coordonatele normalizate în ecuația modelului:
Comparând ultima expresie cu expresia pentru modelul liniar în coordonate ne-normalizate
obținem expresii pentru parametrii modelului:
Pentru exemplul de mai sus
În final, obținem modelul în coordonate naturale:
2. Experimentul factorial complet
2.1. Matricea PFE în formă generală
În general, matricea întregului experiment factorial cu n factori are forma
2.2. Proprietățile matricei PFE
Matricea PFE are următoarele proprietăți:
- Numărul de rânduri din matrice este 2 n;
- Coloana zero a matricei este formată din:
- Coloanele 1. n conțin toate combinațiile posibile 2 n de -1 și +1;
- Ultima coloană conține rezultatele măsurătorilor obținute pentru valorile factorilor înregistrați în rândurile corespunzătoare din coloanele 1. n.
- Suma elementelor din coloana zero este întotdeauna 2 n:
- Suma elementelor din orice coloană, cu excepția celor zero și ultime, este zero:
- Ultimele două expresii pot fi combinate într-un singur raport:
- Suma pătratelor elementelor unei coloane (cu excepția ultimei) este întotdeauna 2 n:
- Suma produselor din elementele corespunzătoare din oricare două coloane (cu excepția ultimului) este zero:
- Ultimele două expresii pot fi scrise ca ortogonalitatea coloanelor matricei:
2.3. Calcularea coeficienților modelului linear
Coeficienții modelului linear în coordonate normalizate sunt calculați prin formulele:
Coeficienții modelului linear în coordonatele naturale (ne-normalizate) se calculează prin formule:
2.4. Transformarea factorilor naturali în normalizați și înapoi
Trimiteți-le prietenilor: