- un set finit de puncte, linii, avioane conectate prin incidență reciprocă. K poate fi atât planar, cât și spațial.
O configurație plană - sistem final de rtochek gpryamyh și planul, aranjate astfel încât fiecare punct al sistemului este incident cu același număr de încăpățânate acest sistem, în timp ce una linie este incident cu același număr p de puncte ale sistemului. Sistemul minim de puncte acordate K. K. roi întreg poate fi obținută prin perechile punctului de incidență cu linii drepte și intersecții ale perechilor este numit. Sistemul de K. Numerele p, g, g, p generatoare sunt legate pg = g p, un K. notat (r g, gp). K, care conține același număr de puncte și linii, este marcat de simbolul (p y).
Exemple ale planului K. 1) Un punct și o linie dreaptă care se întâlnesc unul cu celălalt formează K. (11). 2) Trei puncte care nu se află pe o linie și trei linii care se încadrează la fiecare pereche formează K. (32),
această cifră este un vertex cu trei vârfuri (sau trei fețe) pe plan. 3) Cvadrilateralul complet este patru linii drepte și șase puncte ale intersecției pereche de forma K. (62.43). Totuși, aici nu toate liniile care leagă punctele lui K. în perechi sunt linii drepte ale acestui K; punctele R, P, Q și liniile RP, RQ, PQ nu îi aparțin (figura 1).
Un automorfism al unui a. cartografierea lui K asupra ei însuși, moment în care K. merge la puncte, linii drepte în linii drepte ale aceluiași K. Și în acest caz, nici o incidență nu dispare și nu se adaugă altele noi. K. a sunat. Corect dacă grupul de automorfism al acestui K este tranzitoriu.
Pentru un anumit K. (p g, gp) dual K. (gp, pg). K de tip (p g) și numai astfel, dual corespund lui K de același tip, ei sunt numiți. sunt dual-invariante.
K. a sunat. proiectiv dacă incidența elementelor sale este păstrată sub transformări proiective. De exemplu. incidența elementelor unor K situate pe planul proiectiv este asigurată de îndeplinirea axiomelor conexiunii sale și, prin urmare, incidența punctelor și a liniilor drepte este păstrată sub transformări proiective ale acestui plan și K va fi proiectivă. Toate incidentele și elementele unui astfel de plan K. pot fi reprezentate în desen cu ajutorul unui singur conducător. Flat K. are întotdeauna un dublu datorită principiului dualității.
K poate fi, de asemenea, definit ca un plan parțial finit. Posibilitatea existenței unui anumit K. este determinată de geom. și relațiile combinatoriale dintre numărul de puncte și linii și numărul incidentelor reciproce. C. și este dată prin scheme abstracte, de exemplu, pe o masă (fig. 2) sunt indicate de incidență (indicată printr-o cruce) patru puncte vârfuri A i, și patru avioane, se confruntă cu Di tetraedru. După ce definiția lui K. este definită abstract, se pune problema realizării sale, adică posibilitatea de a construi toate incidentele într-un sistem dat de generatori. Realizarea unei suprafețe ca un plan parțial finit înseamnă posibilitatea unei hărți izomorfe a acesteia pe un anumit subset al unui plan.
K (p 2), este realizată sub forma unui aderent p în așa fel încât vârfurile și laturile acestuia sunt pereche incidentale. Schema abstractă a K. (32) poate fi construită, de exemplu, tabel, ca în Fig. 2. Planul K (p 3) este posibil numai atunci când, prin fiecare punct K, trebuie să treacă trei linii drepte și pe fiecare dintre ele încă două puncte K trebuie să fie mincate (numărul p trebuie să satisfacă inegalitatea). Tipul K (p 3) poate fi modificat, numărul cărora depinde de p. K. (73) este reprezentat de o schemă (Figura 3),
în cazul în care numărul de bretele înseamnă intersecția liniilor care trec prin perechile de puncte înregistrate în partea stângă a suporturilor, numărul de bare verticale reprezintă punctele la- ar trebui să fie coliniare, atunci când toate numitele incidență a plecat. Pe planul real al proiecției, toate incidentele sunt realizate în patru cvadruple (fig.4)
Cu toate acestea, ultima incidență (colinearitatea celor trei puncte) nu are loc aici. K. (93) admite trei modificări diferite, dintre care unul (93) 1 este numit. configurația Brianchon-Pascal (Figura 5): fiecare linie dreaptă li este incidentă cu trei puncte diferite a, - și fiecare punct - cu trei linii diferite.
Acest K poate fi realizat pe planul proiectiv (Figura 6), este proiectiv, obișnuit, invariant dublu (vezi teorema lui Bryanshon, teorema lui Pascal).
Două alte modificări ale lui K. (93) 2. (93) 3 (figura 7) diferă semnificativ de configurația Brianchon-Pascal. De exemplu. K (93) 3 nu este regulat, iar pentru construirea K (93) 2 este necesară o curbă auxiliară de ordinul doi.
K. (103) are zece modificări diferite, dintre care cea mai importantă este configurația Desargues (Figura 8).
Este realizat pe planul real de proiecție, este proiectiv, regulat, invariant dublu. Celelalte nouă modificări. (103) nu exprimă nici o geometrică generală. teoremele și doar opt dintre ele pot fi realizate pe planul real de proiectare, însă pentru construirea lor este necesar un aranjament special al sistemului de generare de puncte (în special, acest tip de K este realizat sub formă de multiplicatori obișnuiți (figura 9).
În secvența de noduri prezentate în desen, se obține de asemenea o față de zece fețe inscripționată și descrisă simultan. K. (93) și (103) admit, de asemenea, valori geometrice. (93) 1 este reprezentat ca persoană cu o față nouă (2, 3, 6, 1, 5, 9, 4, 8, 7, 2) , configurația Desargues - sub forma unei fețe cu zece fețe (Figura 8) (1, 2,3,4,5,6, 7, 8,9, 10, 1). Astfel de reprezentări ale acestor K. sunt unice pentru automorfisme. În general, construcția aderenților p, înscriși și circumscrisi simultan, conduc la K. de tip (p 3). Există, de asemenea, reprezentări de tip K. (p 3) sub forma câtorva multiplicatori inscripționați și descriși unul pe celălalt.
De exemplu. Desargue configurare permite doar mod (până la un automorphism) asigurarea unei perechi de inscripționată reciproc și pyatistoronnikov circumscris (1, 9, 7, 5, 3) și (8, 4, 10, 6, 2) (fig. 8). Cu o creștere a numărului, numărul de modificări de tipul K. (p 3). crește rapid.
Configurația spațială este un sistem finit de puncte și planuri, astfel încât fiecare punct este incident cu același număr de planuri și fiecare plan cu același număr de puncte. Împreună cu K. constând din puncte și planuri, spațiul constă din puncte și linii. Astfel, configurația Desargue descrisă mai sus, constând din puncte și linii, impune și K (103) spațial (Figura 8), dacă tripartitul corespunzător se află în planuri diferite; în același timp, ea poate fi considerată K. (103. 56), constând în puncte și avioane, șase vârfuri trehstoronnikov, centru de perspectivă și trei puncte corespunzătoare privind perspectivele unei axe în k-ryh converg trehstoronnikov părțile implicate pentru a da un total de zece puncte și trei planuri , formate de partidele corespunzătoare ale trilateralilor, și două planuri ale tripartitului însuși dau doar cinci avioane. În fiecare plan sunt șase puncte K și fiecare punct este incident cu trei planuri diferite.
O navă spațială spațială spațială de tipul (p g). este K. (43), schema sa este prezentată în Fig. 2; este reprezentat de un tetraedru. Tipul K (p 4) nu este posibil, pentru p = 8 există cinci scheme diferite. Unul din k-a, așa-numitul. Configurația Mobius este alcătuită din două tetraedre inscripționate și descrise una lângă cealaltă. Fiecare dintre cele opt puncte - vârfurile tetraedre - este incident cu patru planuri ale fețelor tetraedrelor, iar fiecare dintre cele opt planuri este incident cu patru puncte - vârfurile. Când se trece la K. de o ordine superioară, numărul de posibile modificări crește rapid, de exemplu, K. (94) are deja 26 de forme geometrice. modificări fezabile.
Din K. spațială de ordin superior configurație remarcabilă și configurația Reye Schläfli. Se numește configurația Reye. constând din puncte și planuri ale lui K. (126). Într-un spațiu proiector real, acesta poate fi construit, de exemplu, dintr-un anumit vârf al unui cub cerned, centrul său, trei (infinit) puncte in k-ryh converg margini paralele ale cubului, și avioanele care sunt K. șase fețe de cub și șase dintre avioanele sale diagonale care trec printr-o pereche de muchii opuse (fig. 10 ).
Configurația Reye este proiectivă, regulată și invariantă dublă, iar imaginea acestui K. poate fi construită (conform principiului dualității mari) folosind un octaedru în loc de un cub (Figura 11).
Configurația Reye poate fi, de asemenea, considerată ca un punct K spațial și o linie dreaptă (124. 163). K. (302. 125), constând din puncte și linii drepte, este numit. un dublu Schlafli cu șase fețe. Este descrisă în spațiu, de exemplu. în formă de linii drepte și puncte dispuse simetric pe fiecare față a cubului (unul din cele două șase) (Figura 12).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: