Fig. 4. Zece termeni ai extinderii
Pentru a obține valoarea cea mai exactă a funcției cu cel mai mic număr de termeni de expansiune, este necesar să alegeți un număr din formula Taylor ca parametru suficient de apropiat de valoarea lui x.
iar valoarea unei funcții a acestui număr este ușor de calculat.
De exemplu, calculați valoarea sin20 0.
Să traducem mai întâi unghiul 20 0 în radiani: 20 0 = p / 9.
Aplicăm extinderea seriei Taylor, limitându-ne la primii trei termeni ai extinderii:
În tabelul Bradys cu patru cifre, sinusul acestui unghi este setat la 0.3420.
Graficul arată schimbarea valorilor expansiunii seriei Taylor, în funcție de numărul de termeni din expansiune. După cum se poate observa, dacă ne limităm la cei trei termeni ai expansiunii, atunci se obține o precizie de până la 0,0002.
Sa menționat mai sus că pentru x ® 0 funcția sinx este infinitezimală și poate fi înlocuită de o funcție infinit de mică x care este echivalentă cu ea. Acum vedem că pentru x aproape de zero, putem, practic, fără nici o pierdere, să fim limitați la primul termen al expansiunii, adică, sinx @ x.
Exemplu: Calculați sin28 0 13 ¢ 15 ¢¢.
Pentru a reprezenta unghiul dat în radiani, folosim relațiile:
Dacă ne limităm la primii trei termeni din expansiunea lui Taylor, obținem: sinx =.
Comparând rezultatul cu o valoare sine mai precisă a acestui unghi,
vedem că, chiar și cu limitarea a numai trei termeni în extindere, precizia a fost 0.000002, ceea ce este mai mult decât suficient pentru cele mai multe probleme tehnice practice.
Obținem: f (x) = ln (1 + x); f (0) = 0;
Pentru a porni programul, faceți dublu clic pe pictograma
Notă: Pentru a rula programul, trebuie să aveți programul Maple instalat pe computer (Ó Waterloo Maple Inc.) de orice versiune, începând cu MapleV Release 4.
Teoremele despre mijloc.
(Rolle (1652-1719) - matematician francez)
Dacă funcția f (x) este continua pe intervalul [a, b], pe intervalul (a, b) și valoarea funcției la capetele unui segment sunt egale cu f (a) = f (b), atunci intervalul (a, b) există un punct e, a Sensul geometric al Rolle teoremei constă în faptul că, în condițiile teoremei asupra intervalului (a, b) există un punct e, astfel încât punctul corespunzător al curbei y = f (x) este paralelă cu tangenta la axa Ox. Pot exista mai multe astfel de puncte în intervalul, dar teorema afirmă existența a cel puțin unui astfel de punct. Dovada. Prin proprietatea funcțiilor care sunt continue pe un interval, funcția f (x) de pe segmentul [a, b] ia cele mai mari și mai mici valori. Indicăm aceste valori de M și respectiv m. Există două cazuri diferite M = m și M ¹ m. Fie M = m. Apoi, funcția f (x) din intervalul [a, b] rămâne constantă și în orice punct al intervalului derivatul său este zero. În acest caz, putem lua orice punct al intervalului pentru e. Fie M = m. Deci, valorile la capetele segmentului sunt egale, atunci cel puțin una dintre valorile M sau m funcția ia în interiorul intervalului [a, b]. Indicăm prin e, a Df (e) = f (e + Dx) - f (e) ≥ 0 Dar, prin ipoteza derivatului la punctul e există, atunci există o limită. pentru că și. putem concluziona: Teorema lui Rolle are mai multe consecințe: 1) Dacă funcția f (x) satisface teorema lui Rolle pe intervalul [a, b], și f (a) = f (b) = 0, atunci există cel puțin un punct e, a 2) Dacă intervalul (a, b) funcția f (x) este derivata (n-1) - th ordine și n ori este zero, atunci există cel puțin un punct al intervalului în care derivatul de (n - 1) Th este egal cu zero. (Joseph Louis Lagrange (1736-1813) matematician francez) Dacă funcția f (x) este continuă pe intervalul [a, b] și se poate diferenția pe intervalul (a, b), atunci pe acest interval există cel puțin un punct e o Aceasta înseamnă că dacă condițiile teoremei sunt îndeplinite într-un interval, atunci raportul incrementului funcției cu incrementul argumentului pe acest segment este egal cu valoarea derivatului la un anumit punct intermediar. Teorema Rolle considerată mai sus este un caz special al teoremei Lagrange. Raportul este egal cu coeficientul unghiular al secantului AB. Dacă funcția f (x) satisface condițiile teoremei, atunci intervalul (a, b) există un punct e, astfel încât punctul corespunzător al curbei y = f (x) este paralelă cu secantă tangentă care leagă punctul A și punctul B. Acesta ar putea fi oarecum , dar există sigur. Dovada. Considerăm o funcție auxiliară Ecuația Secantului AB poate fi scrisă sub forma: Funcția F (x) satisface teorema lui Rolle. Într-adevăr, ea este continuă pe intervalul [a, b] și este diferențiată pe intervalul (a, b). Prin teorema lui Rolle, există cel puțin un punct e, a pentru că . atunci. prin urmare
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: