Lăsați spațiul de funcții de suport compact.
Def. Lin. continuitate. un funcțional pe un spațiu va fi numit o funcție generalizată (pe o axă numerică).
Setul tuturor funcțiilor generalizate, în virtutea definiției de mai sus, formează un set conjugat spațiului funcțiilor finite.
Dacă este o funcție generalizată și. atunci numărul se numește valoarea funcției generalizate f pe funcția compactă suportată x.
Rețineți că adesea în locul notatiei matematice
Pentru ca o funcționalitate liniară pe spațiul D să fie o funcție generalizată, este necesar și suficient ca una din următoarele condiții să fie îndeplinită:
1. Pentru orice secvență () convergând la zero în spațiul D, secvența numerică () converge la zero.
2. Funcționalitatea este limitată.
3. Pentru orice număr natural n, funcționalitatea este continuă în spațiu. care este, următoarea condiție este îndeplinită:
. Dacă în condiția (3) luăm m care nu depinde de n. care este echivalentă cu condiția. atunci funcționalitatea f este numită funcție generalizată a ordinii finite de singularitate. și cel mai mic m. (2) se numește ordinea singularității funcției generalizate f. Funcțiile generalizate care nu sunt funcții generalizate ale ordinii finite de singularitate sunt numite funcții generalizate ale ordinii infinite de singularitate.
O funcție definită pe o axă numerică va fi numită obișnuită dacă este Lebesgue integrabilă pe orice interval finit al axei numerice.
Fie f o funcție obișnuită. Asociază-o cu o funcție funcțională pe spațiul D prin următoarea formulă: () (3).
Deoarece f este o funcție obișnuită și funcția x este compactă, integrala din partea dreaptă a (3) există și este finită.
Linearitatea funcționalității rezultă din liniaritatea integrală.
Să demonstrăm că funcționalitatea este continuă. Lasă-l să fie. Din egalitatea definitorie (3) pe care o avem. unde pentru brevetare introducem notația.
De la rece. nerav-va rezultă că-general. Funcția de singularitate pentru comanda zeroth. Pentru fiecare funcție obișnuită am asociat o funcție generalizată, cu singularitatea de ordin zero. O astfel de funcție generalizată se spune că este regulată. În acest caz, spunem că o funcție generalizată regulată este generată de funcția obișnuită f. Funcțiile generalizate care nu sunt obișnuite se numesc funcții generalizate singulare.
Exemple de funcții generalizate neregulate:
1. funcție. Funcția generalizată. numită funcția delta sau funcția delta delta, care este definită de
2. Funcția Offset. Remediați și definiți o funcție generalizată. Generalizatul se numește funcția schimbată.
3. Funcția generalizată. Funcția nu este o funcție obișnuită, deoarece nu poate fi integrată într-o vecinătate de zero. Cu toate acestea, putem defini o funcție generalizată, notată. după cum urmează: unde vp reprezintă valoarea principală în sensul Cauchy al integralității.
4. Funcția generalizată
5. Funcția generalizată
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: