Valori proprii și vectori proprii Conjugat operator
Nenul elementul x GV este numit un element adecvat al unui operator A liniar: VV, în cazul în care există un număr L - autovalorile operatorului liniar că exemplul 1. Fiecare polinom de gradul zero este un element adecvat al operatorilor de diferențiere eigenvalue corespunzătoare este zero: Exemplul 2. Operatorul diferențierii proprii valori și elemente proprii. Operatorul adjunct. propriile elemente nu. Să unele polinom trigonometric un cos t + 0 păcat t după diferențierea devine proporțională cu: Asta înseamnă sau ce este același lucru, ultima are loc egalitatea dacă și numai dacă de unde rezultă că a = p = 0, atunci polinomul poate fi numai zero. Teorema 6. Un număr real A este o valoare proprie a unui operator liniar dacă și numai dacă acest număr - rădăcina polinom caracteristic: x (A) = 0. neohodimo. Fie A o valoare proprie a operatorului A. Apoi este un element nenulos x pentru care Ax = Ax. Să fie o bază a spațiului. Apoi, ultima ecuație poate fi rescrisă sub forma de matrice echivalentă, sau ceea ce este același lucru, și asta e - propriul său element rezultă că coloana lui de coordonate x (c) non-zero. Aceasta înseamnă că sistemul liniar (1) are o soluție nonzero. Ultimul este posibil numai cu condiția ca, sau, care este aceeași, Suficiența. Modul de a construi propriul element. Fie A - rădăcina polinomului Să considerăm sistemul liniar omogen cu matricea A (c) - AI: În virtutea condiției (2), acest sistem are o soluție netrivială. Construi un element x de regula x Coordonata coloana (e) a elementului satisface condiția sau că, de asemenea, ultimul este echivalent sau mai mult, prin urmare, x - elementlineynogo proprie a lui A și A - valorii proprii corespunzătoare. Notă. Pentru a găsi elementele tuturor autovalorile corespunzând unei valori proprii predeterminat este necesară pentru a construi sistemul FSS (3). Exemplul 1. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar care acționează conform regulii (operatorul de proiecție) (figura 6). Să considerăm acțiunea unui operator liniar F pe vectori de bază. Acum scriem matricea operatorului: eigenvalues și eigenvalues. Operatorul adjunct. construim un polinom caracteristic și ne găsim rădăcinile. Vom construi sisteme liniare omogene cu matrice: obținem respectiv: găsim sistemele fundamentale de soluții pentru fiecare dintre aceste sisteme. 1 au astfel vectorii proprii ai acestui design operatorului sunt: un vector cu 0 și fiecare valoare proprie cu valori proprii exemplul 2. Gaseste eigenelements diferentiale liniare operator de V, AFJ care acționează în spațiul polinoamelor de grad nu mai mare de două: Matricea D dat operator de bază I, t, are forma a3 polinomul caracteristic are exact o rădăcină a = 0. soluţia sistemului este un set de 1,0,0, ceea ce corespunde unui polinom de grad zero. §5. Operatorul conjugat În spațiul Euclidian față de operatorii liniari, se poate introduce o operație nouă, operația de conjugare. Fie V un spațiu n-dimensional euclidian. Cu fiecare operator liniar care acționează în acest spațiu; un alt operator liniar este conjugat cu cel dat. Definiția. Un operator liniar (a se citi: „și cu o stea“) se numește conjugat liniar operatorul A: V - * V, în cazul în care pentru orice elemente x și y în spațiul V, operatorul de egalitate liniară A * Adjoint la dat operatorului A, există întotdeauna. Să c = (et en.) - bază ortonormală de V și A = A (c) = (a ^) - .. Matricea unui operator A liniar în această bază, și anume, calcule directe poate fi văzută în faptul că un operator liniar " : V -> V, definită de regulă, egalitatea (1) este satisfăcută pentru orice y și y. Amintiți-vă că, în conformitate cu teorema 1, pentru a construi un operator liniar, este suficient să specificați acțiunea sa pe baza elementelor. Un exemplu. Noi introducem spatiul vectorial M \ polinoamele cu coeficienți reali de grad mai mare decât prima operație a înmulțirii scalare în conformitate cu următoarea regulă. Fie M \, prin urmare, M \ este un spatiu euclidian bidimensional. Fie V. M \ - M \ operatorul de diferențiere: V (a + d, f) = b. Construim operatorul adjunct. Matricea operatorului V pe această bază are forma. Apoi - matricea Adjoint operatorului V, care acționează în conformitate cu regula: Pentru orice polinom obține Proprietăți conjugare 1. Ukazhdogolineynogooperatorasuschestvuetrovnoodinsopryazhennyyemuoperator. Fie B și C - operatorii Adjoint dat uoperatoru A. Aceasta înseamnă că pentru orice elemente x și y ale spațiului V egalitati Rezultă că valorile proprii și elemente proprii. Operatorul adjunct. și mai departe Deoarece alegerea lui x, putem concluziona că elementul Wu Su-ortogonale oricărui element al spațiului V și, în special, în sine. Aceasta din urmă este posibilă numai în cazul în care By - Cy = 0 și, prin urmare, By = C y. Deoarece y este un element arbitrar, obținem B
C 2. (a.4) * = aA *, unde a este un număr real arbitrar. Fie A: V -> V și B: V -> V să fie operatori liniari. Apoi proprietățile 2-5 urmează cu ușurință de la unicitatea operatorului adjoint. 6. Fie c o orbobază a spațiului V. Pentru ca operatorii A: V V și B: V -> V să fie conjugați reciproc, adică, În egalitati = A „A = B *, este necesar și suficient ca matricea lor A = A (s) = B și (e) obținute de la un altul prin transpunere. Notă. Subliniem faptul că proprietatea 6 este valabilă numai pentru matricile construite pe o bază ortonormală. În mod arbitrar, este falsă. 7. Dacă operatorul liniar A este nondegenerat, atunci operatorul adjunct A * este de asemenea nedegenerat și
Trimiteți-le prietenilor: