Conceptul de val. Wave caracteristici
În capitolul precedent, am considerat oscilațiile particulelor individuale, care apar sub acțiunea forțelor quasietice recurente. Dacă există un set de particule interconectate (cum ar fi pendulurile asociate cu p. 5.8), iar unul dintre ele începe să oscileze, atunci restul particulelor vor oscila după el. Cu o astfel de situație este necesar să se întâlnească în toate mediile continue: gaze, lichide și solide. În general, dacă oscilațiile care apar aproape de un punct al spațiului excită oscilațiile în apropierea unui punct adiacent, atunci aceste oscilații se vor propaga în întreg spațiul. Procesul de propagare a oscilațiilor în spațiu se numește val. Există multe valuri de diferite tipuri și naturi. Dacă transferul de oscilații se datorează faptului că particulele mediului sunt interconectate de forțele elastice care rezultă din deformarea mediului în timpul oscilațiilor sale, atunci valurile care apar se numesc unde elastice. Când mediul se deformează, particulele de material se deplasează din pozițiile de echilibru; deplasările unor particule determină deplasări ale particulelor adiacente - deplasările se deplasează prin mediu. Deci există un val elastic elastic. Undele elastice sunt, de exemplu, valuri de sunet și valuri în șiruri întinse. Un alt exemplu de valuri sunt valurile de pe suprafața unui lichid. De mare importanță sunt undele electromagnetice. Aceste valuri sunt considerate în secțiunea "Electrodinamică". Este esențial ca, pentru toate varietățile de procese care conduc la formarea și propagarea valurilor, există multe asemănări în toate tipurile de mișcare a undelor. Luați în considerare caracteristicile generale ale valurilor.
Dacă oscilațiile particulelor din val se produc în direcția propagării, atunci valul se numește longitudinal, dacă este perpendicular - transversal. Trebuie remarcat faptul că în cazul mișcării cu undă, particulele oscilante nu se mișcă împreună cu valul; ele doar oscilează în jurul pozițiilor lor de echilibru și transferă mișcarea către alte particule. Tipul valurilor depinde de proprietățile elastice ale mediului. În lichide și gaze, forțele elastice apar sub compresiune și deformări de tensiune. Aceste deformații se propagă de asemenea sub forma unui val longitudinal. Undele transversale pot apărea numai în solide, unde atunci când un strat este deplasat în raport cu celălalt, apar forțe elastice care tind să returneze stratul schimbat în poziția inițială (deformare la forfecare). Într-un val solid, longitudinal poate exista, de asemenea.
Extinderea de la sursa de oscilație, procesul de undă acoperă tot mai multe zone de spațiu. Regiunea spațiului deja implicată în procesul valurilor se numește câmpul valurilor. Suprafața care separă regiunea spațiului înconjurată de procesul de undă din regiunea spațiului în care nu au apărut încă vibrații se numește frontul undei (sau frontul undei). Locul geometric al punctelor care oscilează în aceeași fază se numește suprafața de fază sau de undă, iar liniile perpendiculare pe suprafețele undei se numesc grinzi de undă. Atunci când valul se propagă, partea din față a valului se mișcă tot timpul, în timp ce suprafețele undei rămân staționare (trec prin pozițiile de echilibru ale particulelor care oscilează în aceleași faze). Forma frontului valurilor este aceeași cu forma suprafeței undei. Suprafața undei poate avea o formă diferită. În cele mai simple cazuri, ele au forma unui avion și a unei sfere. În consecință, valurile sunt numite plate și sferice. Într-un val plan, suprafețele undei sunt un sistem de plane paralele unul cu celălalt și într-un val sferic un sistem de sfere concentrice. Orice val care a parcurs o distanță mare de sursă poate fi considerat sferic și pe un plat foarte mare. Când se analizează un val la distanțe mult mai mari decât sursa, sursa poate fi considerată o sursă de punct. Prin urmare, putem presupune că undele sferice sunt generate de oscilațiile unei surse punctuale.
Propagarea oscilațiilor dintr-un punct al spațiului în altul nu are loc instantaneu, dar are loc întotdeauna cu o viteză finită, în funcție de proprietățile mediului în care se propagă valul. Această viteză se numește viteza de propagare a undelor.
Luați în considerare oscilațiile unei cantități de înmulțire a lungul uneia anumită direcție, pe care o luăm ca axa X. Cantitatea poate fi dedusă din poziția sa de echilibru particule mediu elastic, presiunea într-un loc de un mediu elastic etc. Deoarece procesul de undă se dezvoltă atât în spațiu, cât și în timp, spre deosebire de procesul oscilator, care este descris de o funcție de timp, procesul de undă trebuie descris printr-o funcție de coordonate și de timp. În cazul în cauză, valoarea va fi o funcție a coordonatei x și a timpului t. Să presupunem că într-un punct valoarea se schimbă odată cu timpul (oscilează) conform unei anumite legi. Apoi la alte puncte valoarea va trece prin aceleași valori ca și în punctul respectiv. dar cu o anumită întârziere, care este determinată de viteza v a propagării undelor și de coordonata x. Aceasta înseamnă că oscilațiile valorii la punctul x vor avea loc conform aceleiași legi ca și în acest moment, dar aceste oscilații vor rămâne în urma oscilațiilor într-un punct pentru un timp egal cu timpul de trecere de către valul distanței x. Prin urmare, valoarea valorii la punctul x la momentul respectiv. și anume va fi aceeași cu valoarea dintr-un punct într-un moment anterior
După cum vedem, valoarea nu depinde de coordonate x și de timp separat, ci de combinația lor. Să verificăm că funcțiile de acest tip descriu cu adevărat un proces propagat în spațiu. Dacă în timpul unui proces procesul caracterizat prin funcția se deplasează cu o distanță, atunci valoarea funcției în momentul respectiv trebuie să fie egală cu valoarea sa la punctul x la momentul t. De fapt,
Fix un argument valoare a funcției (7.1), în timp, adică Apoi am stabilit ecuația Acesta este planul perpendicular pe axa X. Astfel funcția (9.1) descrie un val plan, iar formula este numit un val de avion sau un val avion Ea descrie un răsadurile val în pozitive valuri direcția X. inmultire în direcția negativă a axa X. posibilă obținut în cazul în (9.1) pentru a înlocui v prin -v:
Printr-o înlocuire directă este ușor de verificat dacă funcțiile (9.1) și (9.2) satisfac ecuația
Ecuațiile (9.3) și (9.4) se numesc ecuații de undă. Ele sunt ecuații diferențiale lineare parțiale de ordinul doi. Aceste ecuații sunt satisfăcute de toate valurile plane. Ecuația (9.2) va fi satisfăcută nu numai de funcții, ci și de suma acestora
Să fim convinși de acest lucru. Reprezentăm această ecuație în formă
Introducem noi variabile
Derivatele noilor variabile sunt exprimate în conformitate cu regulile standard pentru diferențierea unei funcții complexe:
În variabilele noi, ecuația (9.10) va avea forma
Deoarece derivatul lui # 956; este zero, nu depinde de această variabilă și, prin urmare, este doar o anumită funcție a variabilei s:
Integrăm această ecuație:
Primul termen din partea dreaptă este doar o funcție a variabilei, pe care o numim al doilea termen, constanta de integrare. Nu depinde de a fi, prin urmare, o funcție a unei singure variabile # 956; .
Am obținut că soluția ecuației valurilor (9.7) are forma:
Revenind la variabilele anterioare x și t. vom avea
care coincide cu expresia (9.5). O funcție a formei (9.5), prin urmare, este soluția generală a ecuației valurilor (9.4). Nu există alte soluții la această ecuație.
Converse este de asemenea adevărat: dacă această valoare este distribuită în spațiu sub forma undelor plane, la o viteză v depinde de poziția și de timp, orice cantitate fizică, astfel încât sale derivate parțiale de ordinul doi ale acestor variabile satisfac ecuația (9.2).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: